Mausoleum

13.05.2024, 10:54

Gualtiero

Mausoleum

Es war einmal ein König, der lebte vor langer, langer Zeit in einem fernen, fernen Land. Er regierte sein Land viele Jahre in der Tradition seines Hauses, und als er spürte, dass es ans Sterben ging, da ließ er seinen Haus- und Hofarchitekten Geviertonos kommen, um mit ihm den Bau eines Mausoleums zu besprechen.
"Kunstfertiger Geviertonos", sprach der König,"hochgelehrter Studiosus und geschickter Meister in allen Sparten des Handwerks! Baue mir ein Grabmal, das meiner würdig ist. Es möge sowohl die ideale Form des Quadrats als auch die ideale Größe haben. Nicht zu klein, und nicht zu groß."
Geviertonos verbeugte sich und wollte schon seine Bestürzung über des Königs düstere Vorahnung zum Ausdruck bringen, als dieser dankend abwinkte und zur Eile mahnte.
So begab sich der Architekt in sein Schriftrollen-Archiv und, da er sich zu erinnern meinte, schon einmal in einer alten Rolle etwas von idealen Maßen gelesen zu haben, begann zu suchen. Bald wurde er auch fündig, aber seine Freude wurde sogleich gedämpft als er sah, dass das Maß, wonach er suchte, - also die Seitenlänge eines Quadrats - nicht direkt angegeben war. Stattdessen konnte er zwei Maßangaben in der Einheit Königselle* entziffern, die sich auf seltsam schräg laufende Hilfslinien bezogen.
Geviertonos kratzte sich am Ohr, dachte kurz nach, und sagte dann erleichtert: "Gut, es ist machbar." Damit meinte er, dass er die Seitenlänge des Quadrats ausrechnen konnte.
Könnt Ihr es auch?
Wie lang ist die Seite des Quadrats und wie groß ist seine Fläche?

Hier der alte Schriftrollen-Plan.

[attach]57766[/attach]

* Wie sich nach umfangreichen Untersuchungen und präzisesten Messungen herausstellte, entspricht das alte Längenmaß "Königselle" genau dem heutigen allseits verwendeten Meter.

13.05.2024, 14:41

willyengland

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Ich habe ca. 8,6 raus (Fläche = 74).

13.05.2024, 15:55

nichteuerernst

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Zitat:

Ich habe ca. 8,6 raus

So einen Näherungswert an Stelle eines exakten Wertes anzugeben, verschandelt die Aufgabe. Wenigstens gerät es durch das nachgeschobene

Zitat:

(Fläche = 74)

wieder einigermaßen in den akzeptablen Bereich.

13.05.2024, 16:53

willyengland

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Ich habe es mit Pythagoras gemacht und da kommt bei der Wurzel ein krummer Wert raus.
$\begin{eqnarray*} 7^2+5^2=a^2 \end{eqnarray*}$
Für das Mausoleum wird es reichen, aber für einen Mathematiker wohl nicht. smile

13.05.2024, 17:24

Conny_1729

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RE: Mausoleum

Zitat:

Original von Gualtiero
... Es möge sowohl die ideale Form des Quadrats als auch die ideale Größe haben. Nicht zu klein, und nicht zu groß." ...

Leider war damals noch nicht der "Chuck Norris des Zahlenuniversums" bekannt gewesen, dann hätte man statt der 7 bzw. 5 Königsellen nämlich 8 und 3 Längeneinheiten gewählt Augenzwinkern

Wenn bzgl. der Seiten BC bzw. CD ein Thaleskreis eingezeichnet wird, sieht man sofort die Lösung, denn es liegen ja zwei kongruente Dreiecke vor.

Gruß Conny.

13.05.2024, 21:31

nichteuerernst

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Zitat:

Ich habe es mit Pythagoras gemacht und da kommt bei der Wurzel ein krummer Wert raus.

Ich habe es auch mit Pythagoras gemacht, und da kommt ganz gechillt $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{74} \end{eqnarray*}$ raus

14.05.2024, 12:38

Gualtiero

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Die Lösung ist natürlich richtig.
Ich hatte gehofft, dass sich auch Leute aus Schülerkreisen beteiligen, die mit der Aufgabe nicht klarkommen und Fragen stellen und vielleicht einen kleinen Diskurs über den Rechenweg in Gang setzen.

- "Pythagoras" ist schon erwähnt worden.
- Warum Pythagoras?
- "Thaleskreis" über einer Quadratseite.
- Zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke
- Warum kongruent?
- Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
- Kongruenzsätze
.
.

Kann auch sein, dass die Schüler heutzutage das alles schon spielerisch beherrschen und keine weiteren Erklärungen dazu benötigen. Das wäre schön.

Den von @nichteuerernst angesprochenen richtigen Umgang mit Ergebnissen/Zwischenergebnissen halte ich auch für wichtig. Wie immer wieder betont wird: sobald man rundet, hat man etwas an Genauigkeit verloren. Und wenn mit diesem Zwischenergebnis weitergerechnet wird, "pflanzt sich der Fehler fort" bis zum Schluss.

14.05.2024, 16:31

Conny_1729

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Zitat:

Original von Gualtiero
...
Ich hatte gehofft, dass sich auch Leute aus Schülerkreisen beteiligen, die mit der Aufgabe nicht klarkommen und Fragen stellen und vielleicht einen kleinen Diskurs über den Rechenweg in Gang setzen.

- "Pythagoras" ist schon erwähnt worden.
- Warum Pythagoras?
- "Thaleskreis" über einer Quadratseite.
- Zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke
- Warum kongruent?
- Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
- Kongruenzsätze
.
.

...

Da ja vornehmlich nur fertige Ergebnisse gepostet wurden, werde ich mal meinen Gedankengang zu dieser Aufgabe aufzeigen. (siehe auch Anlage)

1.
Ich hatte mal gelernt, wenn bei zwei rechtwinkligen Dreiecken sowohl die Katheten als auch die Hypotenusen senkrecht aufeinander stehen, dann besitzen diese Dreiecke auch gleiche Innenwinkel. (blaue Seite steht senkrecht zur roten Seite und die Seiten des Quadrats (Hypotenusen) sind ebenfalls rechtwinklig)

2.
Da die beiden Hypotenusen durch die Quadratseiten gebildet werden (BC=CD), müssen die beiden Dreiecke zudem noch kongruent sein. Damit sind die Längen der beiden Katheten (7 und 5) bestimmt und es kann der "Pythagoras" zur Anwendung kommen.

Gruß Conny
.

19.05.2024, 19:13

DrummerS

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Ich schließe mich an und teile zu diesem interessanten Rätsel einen alternativen und sehr umständlichen Ansatz. Das Quadrat $\begin{eqnarray*} \square ABCD \end{eqnarray*}$ könnte als zusammengesetzte Figur aus Trapez $\begin{eqnarray*} \square ABCP \end{eqnarray*}$ und Dreieck $\begin{eqnarray*} \triangle CDP \end{eqnarray*}$ wahrgenommen werden. Die Strecke $\begin{eqnarray*} \left[CP\right] \end{eqnarray*}$ , mit P als Berührpunkt auf $\begin{eqnarray*} \left[AD\right] \end{eqnarray*}$ , könnte nach links unten und $\begin{eqnarray*} \left[AB\right] \end{eqnarray*}$ nach links verlängert werden, bis sich ein Berühr-/Schnittpunkt E ergäbe. Das fiktive Dreieck $\begin{eqnarray*} \triangle EBC \end{eqnarray*}$ könnte dann analog als zusammengesetzte Figur aus Trapez $\begin{eqnarray*} \square ABCP \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \triangle AEP \end{eqnarray*}$ betrachtet werden. Es sei $\begin{eqnarray*} \overline {AB} = \overline {BC} = \overline {CD} = \overline {AD}: = a \end{eqnarray*}$ .

Mit gleichen Wechselwinkeln $\begin{eqnarray*} \angle BEC = \angle ECD \end{eqnarray*}$ und deren Sinus folgt $\begin{eqnarray*} \frac{7}{\overline {AE} + a} = \frac{5}{a} \Leftrightarrow \overline {AE} = \frac{2}{5} \cdot a \end{eqnarray*}$ .

Mithilfe des Tangens folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\overline {AP}}{\overline {AE}}=\frac{a}{a+\overline {AE}} \Leftrightarrow \overline {AP} = \frac{a \cdot \overline {AE}}{a + \overline {AE}} \end{eqnarray*}$

Die Trapezfläche wäre:

$\begin{eqnarray*} A_{\square ABCP}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(a+ \overline {AE} \right) - \frac{1}{2} \cdot \overline {AE} \cdot \frac{a \cdot \overline {AE}}{a + \overline {AE}} = \frac{9}{14} \cdot a^{2} \end{eqnarray*}$

Die Dreiecksfläche wäre:

$\begin{eqnarray*} A_{\triangle CDP}= \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(a - \frac{a \cdot \overline {AE}}{a + \overline {AE}} \right) = \frac{5}{14} \cdot a^{2} \end{eqnarray*}$

Zu $\begin{eqnarray*} \triangle CDP \end{eqnarray*}$ können $\begin{eqnarray*} 5^{2} = p \cdot q \end{eqnarray*}$ (Höhensatz), $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \left(p+q\right) = \frac{5}{14} \cdot a^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^{2}+5^{2}=a^{2} \end{eqnarray*}$ aufgestellt und in eine diophantische Gleichung $\begin{eqnarray*} p^{3}-7 \cdot p^{2} + 5^{2} \cdot p - 7 \cdot 5^{2} = \left(p-7\right) \left(p-5i \right) \left(p+5i\right) = 0 \end{eqnarray*}$ umgeformt werden. Mit p = 7 folgt das, was willyengland auch schon aufgestellt hat.

(Ich hoffe, keine Fehler eingebaut zu haben)

21.05.2024, 10:43

Gualtiero

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Interessante Lösung!
Die geometrischen Betrachtungen habe ich verfolgt und kann sie bestätigen. Mit Trapez und rechtwinkligem Dreieck habe ich auch angesetzt, bin aber nicht weitergekommen.

Letztlich gelöst habe ich die Aufgabe über den Weg, den Conny_1729 gezeigt hat.
Die zwei rechtwinkligen, kongruenten Dreiecke springen einem ja fast ins Auge, habe sie aber auch nicht sofort gesehen.

21.05.2024, 20:39

mYthos

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Auch mit Winkelfunktionen:
Ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der kleinere Winkel in den beiden kongruenten Dreiecken (die beiden Winkel sind Normalwinkel und daher gleich), gilt:
$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \frac 7 a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin \alpha = \frac 5 a \end{eqnarray*}$ und nach $\begin{eqnarray*} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ ist letztendlich

$\begin{eqnarray*} a^2 = 74 \end{eqnarray*}$

mY+

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