Wurzelgleichung lösen (leere Menge)

14.05.2024, 07:06

Gaga-Land

Wurzelgleichung lösen (leere Menge)

Guten Morgen,
könnte mir jemand sagen, wie ich o.g. Gleichung löse?
bzw. wo mein Fehler ist?

Hier mein Ansatz

Beide Wurzeln auf eine Seite bringen, die 7 nach recht ==>

sqrt(x-2)-sqrt(x+5) = 7 |²

x-2-2(sqrt(x-2)*sqrt(x+5))+x+5 = 49

2x+3-2sqrt(x²-3x-10) = 49

2x-46 = 2sqrt(x²-3x-10) |²

4x²-184x+2116 ) = 4(x²-3x-10) |:4

x²-46x+529 = x² -3x - 10

-43 x = -539

x= 12,53

Im Lösungsheft steht leere Lösungsmenge

Quadrieren ist ja blöd

14.05.2024, 07:21

Gaga-Land_

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oder so:

sqrt(x-2)-7 = sqrt(x+5) |²

x-2-14*sqrt(x-2) = x+5 |+2

-14*sqrt(x-2) = 7 | unglücklich

-14)

sqrt(x-2) = -1/2 |²

x-2 = 1/4

x= 2,25

Wo liegen meine Fehler in beiden Varianten?.
Es kommt ja offenslichtlich zweimal was anderes raus und das Lösungsheft sagt nochmal was anderes-

14.05.2024, 07:29

Gaga-Land_

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oder so:

sqrt(x-2)-7 = sqrt(x+5) |²

x-2-14*sqrt(x-2) = x+5 |+2

-14*sqrt(x-2) = 7 | unglücklich

-14)

sqrt(x-2) = -1/2 |²

x-2 = 1/4

x= 2,25

Wenn ich hier die Probemache, kommt eine falsche Aussage heraus.
Hab ich es also auf beiden Wegen richtig gelöst und da die Gleichung keine Lösung hat, kommt für die verschiedenen Wege auch etwas anderes heraus? Und es ist ja beides keine Lösung
Oder habe ich Fehler in beiden Varianten gemacht?.
Es kommt ja offenslichtlich zweimal was anderes raus auch wenn beides zu keiner Lösung führt.

14.05.2024, 07:37

Steffen Bühler

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Zweimal verrechnet.

Zitat:

x-2-2(sqrt(x-2)*sqrt(x+5))+x+5 = 49

2x+3-2sqrt(x²-3x-10) = 49

Das muss +3x sein.

Zitat:

sqrt(x-2)-7 = sqrt(x+5) |²

x-2-14*sqrt(x-2) = x+5 |+2

Hier fehlt links +7².

Wenn Du es in Ruhe ausrechnest, solltest Du weiterkommen.

Schau Dir auch mal unseren Formeleditor an.

Viele Grüße
Steffen

14.05.2024, 08:19

Elvis

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Manchmal ist Nicht rechnen besser als Falsch rechnen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x-2<x+5 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sqrt {x-2}<\sqrt {x+5} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sqrt {x-2}-\sqrt {x+5}<0 \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x\ge 2 \end{eqnarray*}$ .

15.05.2024, 23:44

mYthos

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Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, weil dadurch negative Vorzeichen positiv werden und es zu Scheinlösungen kommen kann.
Dennoch kann man die Wurzelgleichung zunächst mittels Quadrieren umformen.
Anschließend muss mit der solcherart erhaltenen Lösung die Probe durch Einsetzen in die Anfangsgleichung gemacht werden.
Kommt es zu einer falschen Aussage, ist die (Schein-)Lösung zu verwerfen und es ergibt sich die leere Menge.
-----------
Falls man in der Angabe ein Vorzeichen ändert, kann damit unter Umständen die Lösung als richtig verifiziert werden.

Hier:

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x-2} = 7 - \sqrt{x+5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+5} = 7 - \sqrt{x-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x + 5 = 49 - 14 \sqrt{x-2} + x - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 14 \sqrt{x-2} = 42 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt {x - 2} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x -2 = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 11 \end{eqnarray*}$
=====

Einsetzen in die Angabe (!): $\begin{eqnarray*} 3 - 4 = 7 \ \to \ \text{f. A., also ist } L = \{ \} \end{eqnarray*}$

Es ist nun ersichtlich, dass beim Ändern des Vorzeichens in der Anfangsgleichung bei der Wurzel rechts die Lösung $\begin{eqnarray*} L = \{11\} \end{eqnarray*}$ richtig ist.

mY+

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