Isomorphismus Z(G) \cong Z(H)

14.05.2024, 09:00

KonverDiv

Isomorphismus Z(G) \cong Z(H)

Hallo

,

Sei $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus. Ich möchte Zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} Z(G) \cong Z(H) \end{eqnarray*}$ ist. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ das Zentrum, definiert als $\begin{eqnarray*} Z(G) := \left\{ z \in G \, | \, zx = xz \, \forall x \in G \right\} \end{eqnarray*}$ , analog $\begin{eqnarray*} Z(H) := \left\{ z' \in H \, | \, z'x' = x'z' \, \forall x' \in H \right\} \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz wäre nun eine Funktion $\begin{eqnarray*} g : Z(G) \rightarrow Z(H) \end{eqnarray*}$ zu definieren, die etwa folgendermaßen arbeitet: Seien $\begin{eqnarray*} zx \in Z(G) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} g(zx) = f(zx) = f(z)f(x) = z'x' \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z'x' \in Z(H) \end{eqnarray*}$ sind. Man müsste jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist, injektiv und surjektiv ist.

Meine Frage, kann man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ so definieren, oder ist es vielleicht besser den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} Z(G) \cong Z(H) \end{eqnarray*}$ nur über die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu zeigen? verwirrt

14.05.2024, 11:01

Elvis

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Wir sind in der Algebra, d.h. dass isomorphe algebraische Strukturen, hier also isomorphe Gruppen, algebraisch nicht unterscheidbar sind. Also muss der Isomorphismus f Elemente auf Elemente, spezielle Elemente auf spezielle Elemente, Untergruppen auf Untergruppen, Normalteiler auf Normalteiler, das Zentrum auf das Zentrum abbilden. Sprechweise: Ein Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ "identifiziert" die algebraischen Strukturen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

14.05.2024, 11:14

KonverDiv

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Hallo @Elvis, ich verstehe was du sagst, der Isomorphismus ist sozusagen Struktur erhaltend.

Was sagst du zu der Abbildung $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ? Kann man das verwenden?

14.05.2024, 11:23

Elvis

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Du kannst g als Einschränkung von f auf Z(G) definieren, das ist dann offenbar ein Isomorphismus von Z(G) nach Z(H). Bringt aber keine neuen Erkenntnisse, denn wir wissen ja schon dass die Zentren vermöge f isomorph sind.

14.05.2024, 11:31

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Du kannst g als Einschränkung von f auf Z(G) definieren

Ginge das auf die Weise, wie ich es oben über $\begin{eqnarray*} g : Z(G) \rightarrow Z(H) \end{eqnarray*}$ , und sei $\begin{eqnarray*} zx \in Z(G) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(zx)=f(zx)=f(z)f(x)=z'x' \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z'x' \in Z(H) \end{eqnarray*}$ , gemacht habe?

Insgesamt sehe meine Argumentation so aus:

Sei $\begin{eqnarray*} zx \in Z(G) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} zx = xz \end{eqnarray*}$ und einerseits $\begin{eqnarray*} g(zx)=f(zx)=f(z)f(x)=z'x' \in Z(H) \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} g(xz) = f(xz) = f(x)f(z) = x'z' \in Z(H) \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auch ein Homomorphismus (sogar Isomorphismus), wegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Isomorphismus.

14.05.2024, 12:15

Elvis

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Das sehe ich nicht so, denke vielleicht noch mal darüber nach.

14.05.2024, 12:54

KonverDiv

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Ok, also wir wissen, dass es einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ gibt. Wir wissen auch, dass das Zentrum $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist und das $\begin{eqnarray*} Z(H) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist. Weil es den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ gibt und dieser die komplette(n) Gruppe(n) berücksichtigt, muss dieser auch die Untergruppen erfassen. Dazu könnte man Eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definieren, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ einschränkt. Das wäre vermutlich die Idee? verwirrt

14.05.2024, 14:49

Elvis

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Ja, das passt. f ist ein Gruppenisomorphismus, dieser bildet nicht nur G isomorph auf H ab sondern bildet jede Untergruppe von G auf eine isomorphe Untergruppe von H ab. Alle algebraischen Eigenschaften bleiben bei diesem Isomorphismus erhalten, also auch die algebraische Eigenschaft, Zentrum der Gruppe zu sein. Isomorphie ist eine sehr starke Relation, man kann sie sich exakt so vorstellen wie Gleichheit, der Begriff klingt nur gelehrter. Lehrer

Isomorphie ist nichts anderes als die Umbenennung der Gruppenelemente, die Elemente machen genau das gleiche, heißen nur anders.

14.05.2024, 14:54

KonverDiv

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Vielen Dank @Elvis. Freude

Meine nächste Frage wäre jetzt, wie man

Zitat:

Original von KonverDiv
Ok, also wir wissen, dass es einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ gibt. Wir wissen auch, dass das Zentrum $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist und das $\begin{eqnarray*} Z(H) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist. Weil es den Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f: G \rightarrow H \end{eqnarray*}$ gibt und dieser die komplette(n) Gruppe(n) berücksichtigt, muss dieser auch die Untergruppen erfassen. Dazu könnte man Eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ definieren, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} Z(G) \end{eqnarray*}$ einschränkt.

etwas "formaler" zeigen würde. Hast du einen Vorschlag?

14.05.2024, 15:46

Elvis

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Formal geht auch.

$\begin{eqnarray*} f(x)=u,f(y)=v \end{eqnarray*}$ ("Umbenennung der Gruppenelemente")
$\begin{eqnarray*} x\in Z(G)\Leftrightarrow \forall y\in G :xy=yx\Leftrightarrow \forall v\in H :uv=f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x)=vu\Leftrightarrow u\in Z(H) \end{eqnarray*}$

Von rechts nach links müsste man die Gleichung xy=yx mit den Urbildern von u und v unter $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ vervollständigen.

15.05.2024, 07:02

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Formal geht auch.

$\begin{eqnarray*} f(x)=u,f(y)=v \end{eqnarray*}$ ("Umbenennung der Gruppenelemente")
$\begin{eqnarray*} x\in Z(G)\Leftrightarrow \forall y\in G :xy=yx\Leftrightarrow \forall v\in H :uv=f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x)=vu\Leftrightarrow u\in Z(H) \end{eqnarray*}$

Hallo @Elvis, danke für deine prima Antwort! Freude

Jetzt habe ich auch meinen Fehler erkannt, ich habe mit $\begin{eqnarray*} zx \in Z(G) \end{eqnarray*}$ gestartet, das war nicht optimal, besser wäre, wie du es auch gemacht hast, mit $\begin{eqnarray*} z \in Z(G) \end{eqnarray*}$ (nach meiner Def. von oben).

Zitat:

Original von Elvis
Von rechts nach links müsste man die Gleichung xy=yx mit den Urbildern von u und v unter $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ vervollständigen.

Das hieße doch, wenn ich das richtig verstehe,
$\begin{eqnarray*} x = f^{-1}(u), y = f^{-1}(v) \in G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u \in Z(H) \Leftrightarrow \forall v \in H \, : \, uv = vu \Leftrightarrow \forall f^{-1}(v) = y \in G \, : \, xy = f^{-1}(u)f^{-1}(v) = f^{-1}(uv) = f^{-1}(vu) = f^{-1}(v) f^{-1}(u) = yx \Leftrightarrow x \in Z(G) \end{eqnarray*}$ .

15.05.2024, 08:00

Elvis

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Das sieht schon ganz gut aus. Weil ich bei den Quantoren und Aequivalenzen nicht mehr ganz sicher bin, würde ich im Nachhinein meinen formalen Beweis nur noch von links nach rechts gelten lassen und die Umkehrfunktion von f exakt gleich für die umgekehrte Implikation benutzen. Mehr Schreibarbeit vermindert die Denkarbeit und erhöht die Sicherheit. Zusätzliche Arbeit ist nicht erforderlich, denn beide Richtungen stehen ja schon da, wenn wir meine und deine Beweisrichtung zusammen nehmen.

15.05.2024, 08:02

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Das sieht schon ganz gut aus. Weil ich bei den Quantoren und Aequivalenzen nicht mehr ganz sicher bin, würde ich im Nachhinein meinen formalen Beweis nur noch von links nach rechts gelten lassen und die Umkehrfunktion von f exakt gleich für die umgekehrte Implikation benutzen. Mehr Schreibarbeit vermindert die Denkarbeit und erhöht die Sicherheit.

Guten Morgen @Elvis, ja ich finde auch, dass für den ersten Teil "sicherer" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ ist. In meinem Vorschlag hätte ich intuitiv auch lieber $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ gewählt.

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