Isomorphismus zwischen Kleinschen Vierergruppe und Subgruppe von Q_8

14.05.2024, 11:06	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus zwischen Kleinschen Vierergruppe und Subgruppe von Q_8 Hallo , Ich stelle mir aktuell die Frage, ob es einen Isomorphismus zwischen der Kleinschen Vierergruppe und einer Subgruppe von $\begin{eqnarray} Q_8 \end{eqnarray}$ (Quaternionen) gibt. Meine Überlegung, die Kleinsche Vierergruppe besteht aus $\begin{eqnarray} \left\{1,a,b,ab\right\} \end{eqnarray}$ und die Verknüpfungstafel sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|cccc} & 1 & a & b & ab \\ - & - &-&-&-\\ 1 & 1 & a & b & ab \\ a & a & 1 & ab & b \\ b & b & ab & 1 & a \\ ab & ab & b & a & 1 \end{array} \end{eqnarray}$ Die Quaternionen bestehen aus $\begin{eqnarray} \left\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\right\} \end{eqnarray}$ und Subgruppen davon sind: $\begin{eqnarray} \left\{1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{1,-1 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{1,-1,i,-i \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{1,-1,j,-j \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{1,-1,k,-k \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q_8 \end{eqnarray}$ Nehmen wir einmal $\begin{eqnarray} \left\{1,-1,i,-i \right\} \end{eqnarray}$ , die Verknüpfungstabelle sieht so aus: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|cccc} * & 1 & -1 & i & -i \\ - & - &-&-&-\\ 1 & 1 & -1 & i & -i \\ -1 & -1 & 1 & -i & i \\ i & i & -i & -1 & 1 \\ -i & -i & i & 1 & -1 \end{array} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (für einen möglichen Isomorphismus) angeben müsste, die von der Kleinschen Vierergruppe auf eine Subgruppe der Quaternionen also auf $\begin{eqnarray} \left\{1,-1,i,-i \right\} \end{eqnarray}$ abbildet, würde ich dies explizit mit $\begin{eqnarray} f(1) = 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(a) = -1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(b) = i \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(ab) = -i \end{eqnarray*}$ machen. Meine Frage, kann man daraus einen Isomorphismus ableiten? Bzw gibt es überhaupt einen solchen Isomorphismus
14.05.2024, 11:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} i^2=-1\ne 1 \end{eqnarray}$ Das ergibt nicht die Kleinsche Vierergruppe sondern die andere Gruppe der Ordnung 4 $\begin{eqnarray} i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 \end{eqnarray}$
14.05.2024, 11:21	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, wie peinlich, da bin ich etwas in der Zeile verrutscht. Genau, es ist $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \end{eqnarray}$ . Das passe ich oben einmal an. Edit: Und weil $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \neq 1 \end{eqnarray}$ gilt, gibt es also keine bijektive Abbildung zwischen den Tabellen, wenn ich das richtig deute?!
14.05.2024, 12:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Die Untergruppe wird von i erzeugt, heißt deshalb zyklische Gruppe der Ordnung 4, weil die Potenzen von i immer im Kreis ("Zyklus") herumlaufen.
14.05.2024, 12:23	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke @Elvis, das kann man sich gut vorstellen

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