Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen

14.05.2024, 13:12

Kognitivist

Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen

Meine Frage:
Übungsaufgabe aus May, K. O. S. 347, Problem 13):

Die Gleichheit folgender Zahlenfolgen ist zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} \left[\sum\limits_{i=1}^{i=n} i \right] ^{2} = \sum\limits_{i=1}^{i=n} i^{3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Man soll nutzen:

1 + 2 + 3 +.....+ n = $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ ,

wobei der linke Term natürlich dem in Summenzeichen ausgedrückten
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{i=n} i \end{eqnarray*}$ entspricht.

Okay, ich würde mal beide Seiten der Gleichung quadrieren, um den Term, den ich zu beweisen habe, der quadrierten Folge der Addition natürlicher Zahlen,zu erhalten.
$\begin{eqnarray*} (1 + 2 + 3 +... n)^{2} = \frac{n^{4} + 2n^{3} + n^{2} }{4} \end{eqnarray*}$ .

Der linke Term wird verdammt unhandlich und lässt sich kaum auf eine einfache Addition von natürlichen Zahlen mit Potenz 3 erheben, zumindest ich kann das nicht.

Ich kann ja mal klein anfangen und dass für die ersten beiden Zahlen n1 ( = 1) und n2 ( = 2) machen, mal gucken was passiert:
$\begin{eqnarray*} 4 (n_{1} + n_{2} ) ^{2} = n_{2} ^{4} + 2n_{2} ^{3} + n_{2} ^{2} \end{eqnarray*}$ .

Hilft kein bisschen weiter, selbst wenn ich n2 durch n1 + 1 ersetze.
Wie muss ich vorgehen?

14.05.2024, 13:31

GastTT

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
Hallo, versuch es doch mal durch vollständige Induktion.

Beste Grüsse

14.05.2024, 14:01

Kognitivist

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
Die Antwort habe ich ein wenig befürchtet.

Okay, für x = 1 ist der Zusammenhang safe, kein Problem.

Ich müsste jetzt beweisen, dass die beiden Folgen für x generell gelten und dass der Zusammenhang dann noch für (x+1) gilt, und damit habe ich durch vollständige Induktion den Beweis erbracht, richtig?

Aber gerade das kann ich ja nicht - ich sehe nicht, dass der Zusammenhang für jedes x gilt.....das habe ich ja
durch meine Überlegungen (siehe oben) versucht.

Ich sehe nicht die Gleichheit des quadrierten Endergebnisses der einfachen Additionsfolge mit der Additionsfolge zur Potenz 3 erhobener Folgenglieder der natürlichen Zahlen......

14.05.2024, 14:12

GastTT

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
Hallo, generell besteht vollständige Indiktion aus folgenden Schritten.

1. Induktionsanfang:

Hast du für n = 1 gemacht.

2. Induktionsschritt:

Es gelte nun die Gleichung für n. Dies ist die Induktionsvoraussetzung.

Nun gilt es, die Gleichung unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung (!) für n + 1 zu zeigen.

Bei Summen ist das relativ dankbar, da du die Summe bis n + 1 aufteilen kannst in die Summe bis n plus den letzten Summanden. Die Summe bis n kannst du dann dank der Induktionsvoraussetzung direkt umformen und jetzt gilt es nur noch, den letzten Summanden entsprechend zu verrechnen.

Beste Grüsse

14.05.2024, 16:47

Kognitivist

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
Das ist mir schon klar.

Aber da liegt ja der "Hase im Pfeffer" - wie kann ich zeigen, dass für (n+1) das Quadrat der Summe der addierten natürlichen Zahlen bis (n+1) GLEICH der Summe der zu Potenz 3 erhobenen addierten natürlichen Zahlen bis (n+1) ist? Ich komme doch um ein gewisses Ausrechen, Vereinfachen und Umformen nicht herum.

Bei der geometrischen Folge z.B. gelingt mir das total leicht z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{i=n} y_{1} r^{i-1} = \frac{a_{1}(1 - r^{n}) }{(1 - r)} \end{eqnarray*}$

Ich multipliziere einfach beide Glieder mit (1 - r ) und sehe, dass sich der linke Teil der Gleichung auf $\begin{eqnarray*} y_{1} (1 - r^{n}) \end{eqnarray*}$ reduziert, da sich alle n-1 Zwischenglieder durch Subtraktion gegenseitig "neutralisieren".

Ich dachte, so etwas ähnliches muss ich da auch machen, um den Beweis zu führen, also algebraisch vorgehen. Nur wie?

14.05.2024, 17:06

Kognitivist

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
Okay, ich versuch's mal so wie ich Dich verstehe.

Du schlägst vor:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{i=n} i^{3} + (n+1)^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2} \right) ^{2} + \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) ^{2} also (n+1)^{3} = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

???

Bin ich auf dem richtigen Weg, dann rechne ich gerne weiter....

14.05.2024, 17:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kognitivist
Ich komme doch um ein gewisses Ausrechen, Vereinfachen und Umformen nicht herum.

So ist es. Mir ist irgendwie nicht klar, was dein eigentliches Anliegen ist, es klingt ein bisschen wie "Wascht mich, aber macht mich nicht nass."

Egal: Den Kern des Induktionsbeweises kann man mit den beiden folgenden Identitäten beschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{n\left(n+1\right)}{2} - \frac{\left(n-1\right)n}{2} = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{n\left(n+1\right)}{2} \right)^2 - \left( \frac{\left(n-1\right)n}{2} \right)^2 = n^3 \end{eqnarray*}$

14.05.2024, 17:13

GastTT

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
Naja, ich bin links gestartet:

$\begin{eqnarray*} (\sum_{i=1}^{n+1} i ) ^2= ( \sum_{i=1}^n i + (n+1))^2 = (\sum_{i=1}^n i )^2 + 2*\sum_{i=1}^n i * (n+1) + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt für die erste Summe die Induktionsvoraussetzung benutzen und die zweite Summe mittels Hinweis mit dem letzten Teil verrechnen.

14.05.2024, 17:15

Kognitivist

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Macht Sinn. Danke.

15.05.2024, 10:01

Kognitivist

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RE: Beweis Gleichheit von Zahlenfolgen mit Summenzeichen
War fehlerhaft, Addition und Subtraktion verwechselt, Schnellschuss.....

jetzt hab ich's aber:

Wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{i = n+1} i^{3} = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

und als Induktionsvoraussetzung gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{i=n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{i=n+1} i^{3} - \sum\limits_{i=1}^{i=n} i^{3} = (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

Also muss gelten: $\begin{eqnarray*} \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) ^{2} - \left(\frac{n(n+1)}{2} \right) ^{2} = (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

Ich rechne, vereinfache und kürze:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{4} + 6n^{3} + 13n^{2} + 12n + 4 - n^{4} - 2n^{3} - n^{2} }{4} = \frac{4n^{3} + 12n^{2} + 12n + 4 }{4} = \frac{4 (n^{3} + 3n^{2} + 3n +1) }{4} = n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1 = (n+1)^{3} \end{eqnarray*}$

Was zu beweisen war.......

Danke euch für die entscheidenden Denkanstöße!

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