K/H eine Untergruppe von G/H

16.05.2024, 13:31	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
K/H eine Untergruppe von G/H Hallo , Sei $\begin{eqnarray} H \triangleleft K \triangleleft G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H \triangleleft G \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist eine normale Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ). Ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray} K/H \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G/H \end{eqnarray}$ ist. Ich muss hierfür zeigen, dass $\begin{eqnarray} K/H \notin \emptyset \end{eqnarray}$ , es ein neutrales Element in $\begin{eqnarray} K/H \end{eqnarray}$ gibt, ein inverses Element in $\begin{eqnarray} K/H \end{eqnarray}$ existiert und das $\begin{eqnarray} K/H \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. Zunächst halten wir fest: i. $\begin{eqnarray} K/H := \left\{ aH \, : \, a \in K \right\} \end{eqnarray}$ ii. $\begin{eqnarray} G/H := \left\{ bH \, : \, b \in G \right\} \end{eqnarray}$ 1.) $\begin{eqnarray} K/H \notin \emptyset \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} e \in G \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} e \in K \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} e \in H \end{eqnarray}$ , damit $\begin{eqnarray} eH = H \in K/H \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} K/H \notin \emptyset \end{eqnarray}$ . Außerdem haben wir damit auch unser neutrales Element gefunden. 2.) Es gibt ein neutrales Element, dies ist gerade $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ . 3.) $\begin{eqnarray} K/H \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen bezüglich der Operation $\begin{eqnarray} aH bH = abH \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a,b \in K \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} aH, bH \in K/H \end{eqnarray}$ , außerdem $\begin{eqnarray} aH bH = (ab)H \in K/H \end{eqnarray}$ . 4.) Inverses Element Sei $\begin{eqnarray} a \in K \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} a^{-1} \in K \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} a^{-1}H \in K/H \end{eqnarray}$ . Man beachte auch $\begin{eqnarray} aHb^{-1}H = ab^{-1}H \in K/H \end{eqnarray*}$ . Geht das so, oder ist das zu kurz gedacht?!
16.05.2024, 14:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Das neutrale Element ist $\begin{eqnarray} eH=H \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} aHa^{-1}H=aa^{-1}H=eH \end{eqnarray}$ Sonst ist alles in Ordnung.
16.05.2024, 14:11	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, danke für deine wertvollen Hinweise! 2. Absolut! $\begin{eqnarray} eH =H \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element. 4. Stimmt! Danke für die Einsicht! Danke in Summe!

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