Unendliche geometrische Folge

16.05.2024, 20:05

Mathefreund10

Unendliche geometrische Folge

Hallo liebe Mathefreunde,

folgende Aufgabe:

Gegeben ist der Ausschnitt einer unendlichen Folge sowie die Summe S der zugehörigen Reihe:

.... , 135/2, -405/8, 1215/32, .....

S = 480/7

Frage: Bestimmen Sie das 1. Folgeglied und das 10. Folgeglied.

Mein Ansatz:

Ich habe herausgefunden, dass mit -1,33333333333 = q zwischen den nebeneinanderliegenden Folgegliedern multipliziert bzw. dividiert werden kann.

Nun habe ich folgendes aufgestellt bzw. folgenden Ansatz:

a1 + a1/q + a1/q² + a1/q³ + ........= S (480/7)

Kann man das so aufstellen und wenn ja, wie kann ich die Gleichung nach a1 umstellen?

16.05.2024, 20:30

Steffen Bühler

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RE: Unendliche geometrische Folge
Mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k = 1 + q + q^2 + \dots = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ solltest Du weiterkommen.

Viele Grüße
Steffen

16.05.2024, 21:07

Mathefreund10

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RE: Unendliche geometrische Folge
Hallo Steffen,

danke schonmal.

Ist meine aufgestellte Formel so korrekt?
Ich sehe gerade nicht, wie ich das da einbauen kann. smile

Vlt. kannst du mir noch einen Hinweis geben. Das wäre super.

VG

16.05.2024, 21:12

mYthos

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Dies (von Steffen) gilt allerdings ausschließlich für |q| < 1 (!).
Bei Ansicht deiner Reihe ist festzustellen, dass $\begin{eqnarray*} q = - \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ist und NICHT -1,333 ...
Denn der Qutient q berechnet sich bei 2 aufeinanderfolgenden Gliedern $\begin{eqnarray*} a_n \ , \ a_{n+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q = \frac {a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Hinweis:
In der Reihensumme ist auch das 1. Folgenglied (a_1) enthalten, die damit komplettierte Summenformel für die unendliche Reihe lautet $\begin{eqnarray*} s_{\infty} = \frac {a_1} {1 - q} \end{eqnarray*}$

mY+

16.05.2024, 21:17

Steffen Bühler

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RE: Unendliche geometrische Folge

Zitat:

Original von Mathefreund10
Ist meine aufgestellte Formel so korrekt?

Ja, nur etwas umständlich. Du dividierst durch -4/3 statt mit -3/4 zu multiplizieren.

Die von mir genannte Formel kannst Du dann nämlich direkt verwenden, um zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left( -\frac34 \right) ^k = \frac{1}{1+ \frac 34} = \frac 47 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann leicht, oder? Das Meiste hast Du ja schon geschafft.

16.05.2024, 21:31

Mathefreund10

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Super,
vielen Dank.

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