Beweis f(f^{-1}(J)) = J

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KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis f(f^{-1}(J)) = J
Hallo smile ,

Sei ein surjektiver Homomorphismus und sei eine Untergruppe von . Ich möchte zeigen, dass dann ist.

Ich würde den Beweis in zwei Teile aufteilen und zunächst definieren. Dies könnte etwa so aussehen .

Teil 1: Wir zeigen
Sei dann folgt daraus , daraus folgt .

Teil 2: Wir zeigen
Sei , dann existiert , sodass ist. Jetzt müsste man weiter zeigen, dass dann ist...

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das ansatzweise in die richtige Richtung geht, daher frage ich.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis f(f^{-1}(J)) = J
Sieht gut bisher aus. Surjektivität ist auch bei Teil 2 wichtig. Du kannst dir ja mal ein Gegenbeispiel überlegen, wo nicht surjektiv ist.

Zum Beweis: Es gibt ein mit und nicht nur . Daher ist zu zeigen, dass oder auch . D.h. es ist gezeigt, wenn wäre...
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis f(f^{-1}(J)) = J
Hallo @IfindU und danke für deine Antwort. Kurze Rückfrage, d.h. Teil 1 ist so schon in Ordnung und hier muss nix mehr gezeigt werden, oder fehlt dort noch etwas?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Da habe ich nicht genau hingeguckt.

Teil 1 ist schon formal nicht ganz sauber, weil eine Menge ist und nicht Element. Ich würde nicht versuchen es über Mengen"umformungen" zu machen. Vlt ist es spät, aber ich bin mir bei den Umformungen nicht sicher.

Aus
.
folgt sofort


Oder wie du angefangen hast, ganz langsam:
, d.h. es existiert mit . Da existiert mit . Und damit .
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Für würde ich jetzt vorschlagen: Sei und surjektiv, dann gibt es sodass . Das heißt und damit .


Zur Vollständigkeit: ist ein surjektiver Homomorphismus und (wegen ist Untergruppe von )
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht super aus. Du kannst noch einen Zwischenschritt einbauen:
Aus folgt und und daher
 
 
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank @IfindU Freude
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