Linearkombination von Vektoren. Warum?

20.05.2024, 06:45	Mathenizer	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination von Vektoren. Warum? Meine Frage: Hallo Mathebegeisterte, in vielen Foren und Hilfsseiten für Mathematik, sowie auch in der Schule, wird beim Thema Linearkombination von Vektoren nur auf das Rechenschema und die Definition eingegangen. Aber was habe ich jetzt davon? Was bringt mir das in der Realität? Was wäre ein Anwendungsfall bzw. ein Praxisbezug? Vielleicht kann mir das hier jemand mal detailliert beschreiben. Vielen Dank jetzt schon. Mathenizer Meine Ideen: Es ist klar, dass man einen Vektor durch andere Vektoren mit der Linearkombination darstellen kann. Der Rechenweg ist mir auch klar.
20.05.2024, 06:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel braucht man in einem dreidimensionalen Vektorraum V genau drei Vektoren, um jeden Vektor von V als Linearkombination dieser drei Vektoren darzustellen. Mit drei Vektoren lässt sich wesentlich leichter rechnen als mit unendlich vielen Vektoren. "Warum umständlich, wenn es auch einfach geht?" Praxisbezug : Wir leben in einer vierdimensionalen Raumzeit, in der die Relativitätstheorie eine ganz wesentliche Rolle in der Physik spielt. Nicht einmal der geniale Albert Einstein hätte die allgemeine Relativitätstheorie mit unendlich vielen Vektoren erfinden können. Vier Koordinaten genügen, um den 16-dimensionalen Energie-Impuls-Tensor mit dem 16-dimensionalen metrischen Tensor in Beziehung zu bringen. (In Wirklichkeit sind bei diesen Tensoren nur 10 Komponenten unabhängig, was die Rechnung noch einmal vereinfacht.)
20.05.2024, 07:11	Mathenize	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Elvis für die schnelle Antwort. Das erklärt aber nicht ganz meine Frage. Mir fehlt der Praxisbezug. Vielleicht eine einfache Anwendungsaufgabe. Vor welchem Problem stehe ich in der Praxis, wenn ich die Linearkombination anwenden kann? Was ist gegeben, was gesucht? Danke nochmal.
20.05.2024, 07:14	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein einfaches Praxisbeispiel wäre eine Vektoraddition (z.B. Kräfteparallelogramm).
20.05.2024, 07:34	Mathemizer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da sind die Koeffizienten ja immer 1. In der Schule werden die Koeffizienten ja immer berechnet und sind ungleich 1. Die Vektoren sollen gewichtet werden. Hier ist mir der Praxisbezug unklar. Vielleicht gibt es ja dazu eine konkrete Anwendungsaufgabe in der Physik.
20.05.2024, 07:53	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe z.B. den vektoriellen Impulserhaltungssatz zum Elastischen Stoß
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20.05.2024, 10:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel : Navigation in der Ebene oder im Raum. In der Ebene legen z.B. zwei Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) jeden Vektor (a,b)=a(1,0)+b(0,1) fest. Vom Nullpunkt 0=(0,0) kann man jeden Vektor (a,b)=(0,0)+(a,b) anlegen und erreicht so jeden Punkt P=(a,b) der Ebene. Im Raum braucht man 3 linear unabhängige Vektoren, die auch ein Koordinatensystem festlegen.
20.05.2024, 10:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
"Gehe drei Schritte nach Norden und 7 Schritte nach Westen" ist nun mal eindeutig, während "geh mal schräg da rüber, da findest du was du suchst" nicht hilfreich ist.

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