Doppelpost! Aufsummieren von Einzelwahrscheinlichkeiten |
| 21.05.2024, 06:26 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Aufsummieren von Einzelwahrscheinlichkeiten Schönen Guten Tag! Ich habe eine vermutlich etwas dämliche Frage, aber leider schaffe ich es auch nach einiger Zeit der Recherche nicht, mir diese zu beantworten. Und zwar folgendes: angenommen, ich habe das Intervall [0,1] im Bereich der reelen Zahlen. Dann liegen in diesem Intervall überabzählbar unendlich viele reele Zahlen gleichverteilt vor. Die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Zahl daraus zu ziehen, beträgt Null. Nun stelle ich mir folgende Frage: Die Gesamtwahrscheinlichkeit muss ja für alle Ereignisse in dem Intervall P=1 betragen. Wenn ich aber nun alle Wahrscheinlichkeiten für die Einzelergebnisse aufsummieren würde, dann wäre die Gesamtwahrscheinlichkeit auf dem gesamten Intervall bei 0. Und das ist ja im Widerspruch zu dem erwarteten Ereignis P=1. Meine Ideen: Ist dieser Vorgang auf überabzählbaren Mengen verboten? Oder wie wird dort das Problem umgangen? Eine Gleichverteilung ist ja deshalb bei unendlichen Mengen (zb der natürlichen Zahlen) meines Wissens nach nicht möglich. Habt bitte etwas Nachsicht wegen meiner etwas schwammigen Formulierungen; ich bin kein Mathematik Student, möchte aber trotzdem gerne dazu lernen. Danke für die Hilfe! |
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| 21.05.2024, 06:42 | nichteuerernst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Aufsummieren von Einzelwahrscheinlichkeiten https://www.mathelounge.de/1077836/summe...l-reelen-zahlen |
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| 21.05.2024, 06:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das reelle Intervall [0,1] hat die Länge 1. Jeder Punkt hat die Länge 0. Darin erkenne ich keinen Widerspruch. Das Intervall ist nicht die Summe von Punkten. In der Mathematik ist nichts verboten, manches ist sinnvoll, manches nicht. |
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| 21.05.2024, 09:04 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, danke für die Antwort! Ich kam auf den Gedanken, da ich ja zb bei den natürlichen Zahlen von 1-6 (zb beim Würfeln) alle Einzelwahrscheinlichkeiten aufsummieren kann, und dann genau P=1 erhalte... Das scheint ja auf einem abgeschlossenem Intervall bei den reelen Zahlen so nicht zu funktionieren. |
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| 21.05.2024, 09:32 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt "zu viele" reelle Zahlen in jedem reellen Intervall, nämlich "genau so viele" reelle Zahlen wie es reelle Zahlen überhaupt gibt. Da wird das addieren aller reellen Zahlen etwas schwieriger als das addieren von endlich vielen Zahlen, genau gesagt : unmöglich. Zwei halbe Intervalle oder drei drittel Intervalle oder vier viertel Intervalle oder... ergeben ein ganzes Intervall. |
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| 21.05.2024, 09:53 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, wenn es unmöglich ist, dann wird es für mich schlüssig, dass ich dann über ein Intervall integrieren muss! Mal eine andere Frage, wenn das für Sie in Ordnung geht: Wenn ich zb den Limes bilde : lim 1/x; x->unendlich, dann konvergiert dies gegen 0. Nun wurde mir in einem anderen Forum gesagt, dies sei nicht exakt null, weshalb man zb beim Obersummenverfahren auch ein präzises Ergebnis erhält und nicht einfach 0. Nun dachte ich aber, dass ein gegen Null laufender Limes auch wirklich Null ist, da die reelen Zahlen so definiert sind. Habe ich dabei einen Denkfehler? Entschuldigung auch für meine unpräzise Ausdrucksweise! |
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| 21.05.2024, 11:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. Die Länge des abgeschlossenen Intervalls oder des offenen Intervalls mit ist einfach . Da muss nichts integriert werden. 2. ist ganz exakt eine reelle Zahl und sonst gar nichts. Deine Begründung stimmt genau, denn reelle Zahlen sind Folgen reeller Zahlen. 3. Davon zu unterscheiden ist das Integral für . |
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| 21.05.2024, 11:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Regel gilt wohlweislich nur für höchstens abzählbare Vereinigungen paarweise disjunkter Ereignisse . ist jedoch keine abzählbare Vereinigung, sondern offenkundig überabzählbar - und für solche Vereinigungen wird eine solche Summeneigenschaft nicht gefordert.
Es ist anscheinend Zeit, dass du dich mit Maßtheorie befasst, zumindest den Grundlagen bis hin zur wichtigen Anwendung, dem Lebesgue-Maß. |
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| 21.05.2024, 11:30 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super danke! In dem anderen Matheforum (Link wurde zuvor gepostet) hatte ich die gleiche Frage gestern gestellt, aber keine wirklich guten Antworten erhalten. Dort hieß es, der Limes könnte nicht exakt 0 sein (sondern er sei nur unendlich nahe Null), da man sonst keinen Grenzwert (mit der Streifenanzahl n-> unendlich) einer Funktion mittels Ober- /Untersumme berechnen könnte (wodurch man ja meistens in der Schule zum bestimmten Integral kommt). Ist das korrekt? |
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| 21.05.2024, 11:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Falco: Nebenbei, reell mit Doppel-L mY+ |
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| 21.05.2024, 11:47 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ups, dann reell! |
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| 21.05.2024, 13:32 | nichteuerernst | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da du "in dem anderen Forum" schon die Antworten nicht verstanden hast, wirst du auch hier nichts verstehen. Niemand hat dort behauptet, dass der Limes (von 1/x für x gegen unendlich) nicht exakt 0 ist. |
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| 21.05.2024, 14:01 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, wie wäre es erstmal mit einer sinnvollen Erklärung, bevor behauptet wird, ich würde eh nichts verstehen? Wenn der Limes 0 nicht exakt, sondern nur beliebig nahe Null bedeutet, ist dann das Integral von f(x)=x im Intervall von 0 bis 2 nicht 2, sondern nur Limes 2 ( und nicht exakt)? Schreibt es bitte, mich interessiert es wirklich! |
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| 21.05.2024, 16:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das gilt unabhängig von irgendwelchen Grenzwerten ganz exakt, weil das Integral die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist, und dieses Dreieck hat den Flächeninhalt 2. Wo ist das Problem ? |
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| 21.05.2024, 16:51 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich dachte, dass Integral wäre als Grenzwert der Ober- bz. Untersumme definiert (zumindest steht es so bei Wikipedia unter Riemann Integral). Wenn ich nun für das genannte Intervall die Obersumme bilde und diese in n Streifen zerlege, dann Bilde ich den Grenzwert und lasse die Streifenanzahl gegen unendlich laufen: Edit (mY+): LaTeX-Tags eingefügt. |
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| 21.05.2024, 16:53 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| 21.05.2024, 18:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe nicht, was du machst und warum du es machst. Wenn man ein halbes Quadrat berechnen will, kann man das Quadrat in beliebig viele kleine Quadrate zerlegen, deren Summe berechnen und das Ergebnis durch 2 teilen. Ich ziehe eine Wurzelbehandlung ohne Betäubung beim Zahnarzt vor. 
Das Riemann-Integral ist theoretisch gut und dient dazu den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zu beweisen. Der Zweck der Sache ist es, Flächen zu berechnen. Das macht man nicht so kompliziert wie möglich sondern so einfach wie möglich. |
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| 21.05.2024, 19:01 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, mein Beispiel war zugegeben etwas zu einfach. Also, nochmal von vorne. Die Berechnung von Flächen mit dem Riemann Integral wurde bei uns damals immer mittels Ober- und Untersummen hergeleitet. Soll ich das nochmals konkretisieren oder ist es verständlich, was ich damit meine? Dann wurde bei solch einer Ober/Untersumme der Grenzwert gebildet mit n->unendlich (also unendlich Streifen), wobei dieser Grenzwert dann als das bestimmte Integral der entsprechenden Funktion genannt wurde. Soweit noch nachvollziehbar? |
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| 21.05.2024, 19:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schon, aber es ist dennoch nicht ersichtlich, wie du zu deinem (falschen!) Term der Obersumme gekommen bist. Bei n Streifen giltt nämlich: Analog ist Nun ist ersichtlich, dass von beiden die Limiten gleich 2 sind. mY+ |
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| 21.05.2024, 19:50 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann habe ich einen Fehler gemacht, sorry! Wenn ich nun den Limes bilde und n-> unendlich gehen lasse, dann erhalte ich den Grenzwert 2. Und mittels des Grenzwertes wird, wenn ich nichts falsches gelernt habe, dass Riemann Integral definiert. Soweit korrekt? |
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| 21.05.2024, 20:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist richtig! Damit wird mittels des bestimmten (Riemann-) Integrals eine Fläche berechnet. mY+ |
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| 21.05.2024, 20:56 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ist aber meine Frage: wenn das Riemann Integral streng genommen als Grenzwert definiert ist, sind dann die ganzen Werte, die ich mittels Integration erhalte, streng genommen alles Grenzwerte? Mit Grenzwert 2 meine ich zum Beispiel, dass der Grenzwert der 2 beliebig nahe kommt, diese aber nie erreicht. Ist das auch noch korrekt? |
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| 21.05.2024, 21:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Der Grenzwert ist eine exakt bestimmte Zahl (hier 2), die sich in diesem Beispiel nicht ändert.. Diese ist eine untere bzw. obere Schranke für die Ober- bzw. Untersumme. Es ist also genau umgekehrt: Nicht der Grenzwert kommt den Summen beliebig nahe, sondern diese Summen dem Grenzwert - je nachdem, wie groß die Anzahl der Intervalle (Größe von n) ist. Der Grenzwert dient dann zum Beweis der exakten Berechnung der Fläche mit der x-Achse mittels des Integrals in bestimmten Grenzen eines Intervalls. Dieses Integral ist letztendlich nichts anderes, als eine in diesen Grenzen ausgewertete Stammfunktion der die Fläche begrenzenden Funktion. Es wird als bestimmtes Integral innerhalb der Grenzen des Intervalls bezeichnet. mY+ |
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| 22.05.2024, 04:25 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, du hast natürlich recht, die Summe kommt dem Grenzwert beliebig nahe. Aber sie wird niemals mit dem Grenzwert identisch werden. Oder sehe ich das falsch? Deshalb war mein Gedanke, dass zb das genannte bestimmte Integral bedeutet, das der Flächeninhalt nicht exakt zwei ist, sondern nur gegen den Grenzwert von zwei strebt und diesem beliebig nahe kommt. |
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| 22.05.2024, 08:09 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zahlen sind Zahlen und keine Prozesse, denn die Mathematik ist nicht Physik und kennt keine Zeit. Reelle Zahlen sind z.B. Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Wer diese Dezimalzahlen unbedingt als Prozesse missverstehen will, wird niemals die reelle Zahl verstehen, weil man dafür unendlich oft 0 addieren muss. Genau so unmöglich ist zu verstehen, wenn man zwei Prozesse miteinander multiplizieren will. 2 ist exakt 2, alles andere ist Unsinn. |
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| 22.05.2024, 09:35 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, ich habe schon öfters gelesen, dass die reelen Zahlen als Grenzwerte definiert sind. Kann man also sagen, dass eine Folgen, die gegen 2 konvergiert, die reellen Zahl 2 ist? |
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| 22.05.2024, 10:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist nicht ganz korrekt, weil man die reellen Zahlen damit nicht eindeutig definieren kann. Die Folge (Hund, Katze, Maus, 1,1,1,...) würde ich nicht wirklich als reelle Zahl 1 ansehen, obwohl sie offensichtlich gegen 1 konvergiert. Man kann auch nicht sagen, dass jede reelle Zahl der Grenzwert einer konvergenten Folge rationaler Zahlen sei, weil konvergente Folgen rationaler Zahlen stets einen rationalen Grenzwert haben. Jede reelle Zahl r ist Grenzwert der reellen konvergenten Folge (r,r,r,...), das hilft aber auch nicht weiter, wenn man die reellen Zahlen noch nicht hat. Eine korrekte Möglichkeit, die reellen Zahlen zu definieren, sind die Cauchyfolgen rationaler Zahlen. Um Eindeutigkeit herzustellen, muss man sie modulo Nullfolgen betrachten. Für Schüler besser geeignet sind die reellen Zahlen als Dezimalzahlen, sie werden eindeutig, wenn man die Periode 9 ausschließt. Dann kann man sagen, dass jede konvergente Folge reeller Zahlen einen reellen Grenzwert hat, und in diesem Sinne ist jede konvergente Folge reeller Zahlen eine reelle Zahl. Zwecks Eindeutigkeit muss man dann wieder alle konvergenten Folgen reeller Zahlen mit gleichem Grenzwert als gleiche reelle Zahl ansehen. |
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| 22.05.2024, 11:53 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut, da werde ich nochmal in Ruhe drüber nachdenken und gegebenenfalls dazu etwas lesen. Was mich halt beschäftigt hat: wenn zb die Null als Limes definiert sei, dann wäre sie ja nicht exakt null. Kann man überhaupt so unterscheiden? Mein Gedanke entstand nämlich, als ich mir über Ober- und Untersumme Gedanken gemacht habe. Wenn die die Streifenbreite gegen Null konvergiert, wäre das dann nicht die reellen Zahl 0? |
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| 22.05.2024, 15:45 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
NEIN, weil parallel dazu die Anzahl der Streifen bestimmt gegen +unendlich divergiert. Über unendlich nachzudenken ist müßig, viel sinnvoller ist, über die reellen Zahlen nachzudenken. |
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| 22.05.2024, 19:40 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
FALSCH. Ein Limes ist ein anderes Wort für Grenzwert. Ein Grenzwert einer konvergenten reellen Folge ist eine reelle Zahl. Jede reelle Zahl ist so exakt wie nur irgendwie möglich, etwas exakteres kann man gar nicht denken. |
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| 22.05.2024, 21:21 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube, ich habe mich einfach schlecht ausgedrückt. Der Grenzwert ist eine exakte Zahl, aber die Summe einer konvergierenden Folge kommt diesem nur beliebig nahe. So besser?
Ok, also wird hier die Breite der Streifen nie exakt Null, sondern kommt der Null nur beliebig nahe (während die Streifenanzahl gegen unendlich geht)? |
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| 23.05.2024, 06:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Anscheinend ist es egal, wie oft ich sinnvolles über reelle Zahlen sage. Du wiederholst immer wieder "kommt beliebig nahe". Damit bleibst du beliebig weit von jedem Verständnis für die Wahrheit entfernt und lernst nichts dazu. Folgen kommen nicht nahe, sie bewegen sich nicht, sie sind fertige Objekte genauso wie jede Dezimalzahl unendlich viele Nachkommastellen hat und nicht irgendwie oder irgendwann bekommt. |
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| 23.05.2024, 14:20 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt habe ich nochmal in Ruhe darüber nachgedacht. 3,9 Periode ist ja auch 4.... Nur, dass frage ich mich immer noch: warum ist die Streifenbreite bei der Ober bzw Untersumme nicht Null? Ich lese sehr häufig, dass diese gegen Null konvergiert....das wäre doch dann Null? Auch, wenn die Anzahl gegen unendlich geht... |
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| 23.05.2024, 15:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jede beliebige Fläche enthält und besteht aus "unendlich vielen" Linien der "Breite 0". Das ist deshalb eine sinnlose Sprechweise, weil man damit an der Tatsache vorbei sieht, das Flächen jede reelle Zahl als Flächeninhalt annehmen können. Null mal unendlich ist irgendwas, aber sicher keine reelle Zahl. Wenn man es genauer wissen will, muss man Grundlagen der Geometrie haben, in komplizierteren Fällen muss man Integrale berechnen können, und das geht nur mit Grenzwerten. Riemannsche Summen sind eben nicht das Produkt aus zwei Grenzwerten, also sicher nicht Null mal unendlich. Riemannsche Summen sind, wenn sie existieren, genau ein Grenzwert, also eine reelle Zahl. Zum Beispiel ist , aber , und genau da liegt dein Denkfehler. |
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| 23.05.2024, 20:43 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube mein Problem ist einfach, dass die unendliche Summe der Linien mit der Breite 0 ein Ergebnis ungleich 0 haben. Aber ja, dein letztes Beispiel sollte es eigentlich doch treffen! Stimmt! |
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| 24.05.2024, 00:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau das stimmt ja gar nicht und ist deswegen auch nicht wirklich das Problem. Dein Denkfehler liegt u. a. an dieser Tatsache, dass die "Linien" immer noch Rechtecke sind, welche niemals die Breite 0 und damit auch nicht die Fläche 0 haben (!). mY+ |
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| 24.05.2024, 05:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann sagen, dass in einer Riemannschen Summe keine Linien der Breite 0 vorkommen. Man kann sagen, dass es keine unendlichen Summen gibt. Beides läuft darauf hinaus, dass Null mal unendlich sinnlos ist. Eine unendliche Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen, d.h. |
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| 24.05.2024, 06:37 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie gesagt, ich dachte halt immer, wenn die Breite gegen Null konvergiert, dann müsste diese ja eine reelle Null sein. Ich darf mir das ganze wahrscheinlich auch nicht entkoppelt vorstellen; also nicht erst eine Breite die gegen 0 geht und anschließend geht die Anzahl gegen unendlich. Sondern während die Anzahl gegen unendlich geht, nimmt die Breite entsprechend weiter ab. |
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| 24.05.2024, 06:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falco_F@n hat es verstanden. Hipp hipp hurra. 
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| 24.05.2024, 22:14 | Falco_F@n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal vielen lieben Dank, dass ihr mir so lange geholfen habt! Eine Frage, ist allerdings noch offen: im anderen Forum hieß es, im allgemeinen gelte nicht 0*unendlich =0 Nur warum? |
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