Beweis G \cong H für endliche abelsche Gruppen

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KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis G \cong H für endliche abelsche Gruppen
Hallo smile ,

Angenommen und sind endliche abelsche Gruppen, sodass dür jede ganze Zahl , und die gleiche Anzahl an Elementen mit Ordnung haben. Ich möchte nun zeigen, dass dann

Meine Überlegung. Ich würde aufgrund des fundamental Satzes über endliche abelsche Gruppen folgern, dass und . Als nächstes würde ich eine Funktion definieren, sodass mit ist. Wenn man nun zeigen kann, dass ein Homomorphismus, surjektiv und injektiv ist, dann gibt es den Isomorphismus .

Homomorphismus: Seien , dann ist . Die Abbildung ist ein Homomorphismus.

Injektiv: Angenommen , dann ist und daraus folgt . Man beachte es werden Elemente gleicher Ordnung auf Elemente gleicher Ordnung abgebildet. Die Funktion ist also injektiv.

Surjektiv: Wir zeigen , also, dass jedes Element in ein nichtleeres Urbild besitzt. Hier fehlt es mir noch an einer adäquaten Begründung. Ich würde dies vielleicht über die gleiche Anzahl an Elementen begründen, sodass man jedem Element aus ein Element aus zuordnen kann und somit alle Funktionswerte angenommen werden.

Kann man das so machen und wie steht es um die Begründung der Surjektivität? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Von der groben Idee scheint es mir vielversprechend zu sein. Dein ist aber nicht wohldefiniert. Zum einen ist es keine Abbilung zwischen und , sondern dem isomorphen Produkt aus den , zum anderen musst due Reihenfolge der festnageln.

Potentiell würdest du nämlich und haben und versuchen eine Abbildung zu definieren. Hier ist offensichtlich, dass es eine Bijektion gibt und wie die aussieht. Im Allgemeinen gibt es keinen Homomorphismus zwischen solchen Produkten, und den unterstellst du hier.

Ich würde versuchen: für sortieren, genauso mit . Dann hast du die Chance zu zeigen, dass und . Sobald das gezeigt ist, ist Isomorphie auch schon gezeigt.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @IfindU smile ,

dann gehen wir es mal an. Angenommen und Wir unterstellen eine (aufsteigende) Sortierung der Primzahlen und , also für und ebenso für und . Man beachte auch, dass einige der und Primzahlpotenzen sein können. Ich will hier vermeiden, dass auftritt, wir betrachten daher . Wir wissen nun, dass und eindeutig durch diese Primfaktoren identifiziert werden. Wir wissen auch, dass für und der Fall respektive nicht auftreten kann, weil sonst oder Elemente mit verschiedener Ordnung hätten. Das heißt, unterstellen wir die Sortierung der Primzahl(potenzen) von und , dann folgt durch die Bedingung des Isomorphismus (was hier haben wollen), dass bzw. gelten muss.

Geht das? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung! ist nicht (gruppen)-isomorph zu ! Links hat jedes Element Ordnung , während in .

Das war aber auch ungenau von mir. Man wird die Tupel betrachten müssen und diese lexikographisch anordnen statt nur fordern zu können.

Von der Idee mag ichs, aber mir fehlt eine konkrete Verbindung. Kannst du eine Verbindung zwischen den Elementen der Ordnung und den finden? Ich vermute eine Primzahlzerlegung von wird nahelegen WO die Elementen in den liegen müssen.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @IfindU smile ,

Danke für deine Antwort!

Zitat:
Original von IfindU
Man wird die Tupel betrachten müssen und diese lexikographisch anordnen statt nur fordern zu können.


Ja, da stimme ich auch zu! Was du so schön formal mit dem Tupel beschreibst, wollte ich mit meinem Einwand der Primzahlpotenzen der 's bzw 's ausdrücken.

Zitat:
Original von IfindU
Von der Idee mag ichs, aber mir fehlt eine konkrete Verbindung. Kannst du eine Verbindung zwischen den Elementen der Ordnung und den finden? Ich vermute eine Primzahlzerlegung von wird nahelegen WO die Elementen in den liegen müssen.


Ja, das denke ich auch. Also angenommen ist zusammengesetzt, dann könnten wir in folgender Weise auffassen . Dadurch wüsste man (?) nun, dass z.B. z.B. die Ordnung hat usw.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nur vorsichtshalber: Ich weiß selbst nicht sicher wie es geht.

Was ich an deiner Stelle machen würde: Beispiele!

Nimm dir und . Welche Elemente haben Ornung 1? Welche Ornung 2 usw.
Wie viele gibt es davon. Welches kannst du als Beispiel hier nehmen, wo die Anzahl der Elemente nicht passt. Wie schaut es aus mit und . Wo gibt es hier Unterschiede. Sobald du eine Idee hast, kannst du versuchen ob du es allgemein begrünen kannst und vlt sogar ein konstruieren kannst.
 
 
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