Schnittgerade einer Ebenenschar

26.05.2024, 13:28

andyrue

Schnittgerade einer Ebenenschar

hallo, hab eine frage zur aufgabe im anhang, ich habe die aufgabe selbst in einem forum gefunden und problemlos gelöst, mit folgender (recht billigen) strategie:

1. generiere 2 ebenen der ebenenschar durch willkürliche wahl des scharparameters

2. berechne die schnittgerade der beiden ebenen

3. sieh nach, ob die schnittgerade in allen scharebenen liegt (einsetzen)

soweit, so gut, unzählige schüler machen das wohl seit ewigkeiten so, meine frage: gibt es eine elegantere (und vor allem schnellere) lösung?

meine gedanken: aus der ebenengleichung ist ersichtlich dass der punkt (0|0|2) in allen ebenen liegt.

wenn es jetzt möglich wäre, noch einen solchen punkt zu finden, wär die sache geritzt, aber genau da gerat ich in straucheln

andy

26.05.2024, 13:49

klauss

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RE: Schnittgerade einer Ebenenschar
Nachdem man schon einen bekannten gemeinsamen Punkt hat, würde es sich anbieten, durch das Kreuzprodukt der Normalenvektoren zweier beliebiger Scharebenen dazu noch den Richtungsvektor der Schnittgeraden
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zu berechnen.

26.05.2024, 16:40

demon

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Zitat:

wenn es jetzt möglich wäre, noch einen solchen punkt zu finden, wär die sache geritzt

Setzt man x1=2 und x2=1 oder x1=4 und x2=2 usw., dann führt das mit x3=2 zu einem weiteren Punkt.
Allgemein ist es also eine brauchbare Idee, dass man Punkte der Form $\begin{eqnarray*} P_k(2k|k|2) \end{eqnarray*}$ wählt.
In diesem Beispiel kann man das mit gutem Auge direkt sehen.

Ansonsten könnte man auch allgemein mit $\begin{eqnarray*} a_1 \neq a_2 \end{eqnarray*}$ so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} a_1x_1-2a_1x_2+x_3=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2x_1-2a_2x_2+x_3=2 \end{eqnarray*}$

Nach Subtraktion der Gleichungen folgt

$\begin{eqnarray*} (a_1-a_2)x_1-2(a_1-a_2)x_2=0 \end{eqnarray*}$

wodurch man ebenso auf den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} x_1=2x_2 \end{eqnarray*}$ kommen kann.

26.05.2024, 17:37

Leopold

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Im konkreten Fall könnte man folgendermaßen vorgehen. Man schreibt die Ebenengleichung mit Hilfe des Skalarprodukts um:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} a \\ -2a \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 2 \end{align*}$

Nun stellt man die 2 als Skalarprodukt des Normalenvektors mit einem anderen geeigneten Vektor dar. In den ersten beiden Koordinaten verwendet man den Parameter $\begin{align*} a \end{align*}$ , so daß beim Multiplizieren $\begin{align*} a \end{align*}$ "über Kreuz" wegfällt, etwa so:

$\begin{align*} \begin{pmatrix} a \\ -2a \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ -2a \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*}$

Offenbar wird diese Gleichung von allen Punkten mit den Ortsvektoren

$\begin{align*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a \\ a \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

erfüllt.

27.05.2024, 20:51

andyrue

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danke an alle für die hinweise,

@demon .. leider hat jemand der sich nicht intensiv mit dem thema befasst, nicht immer das 'gute auge'

@klauss .. deine lösung ist die für mich naheliegendste

@leopold .. kann ich nachvollziehen, wär ich im leben nicht drauf gekommen

28.05.2024, 10:34

demon

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Zitat:

leider hat jemand der sich nicht intensiv mit dem thema befasst, nicht immer das 'gute auge'

Es gibt immer mal wieder Schüler, die so etwas direkt sehen.
Lineare Zusammenhänge zu erkennen, ist vermutlich auch keine Leistung, die ein sehr ausgeprägtes und breit gefächertes Grundverständnis benötigt.
Von daher kommt man damit wohl bei der Aufgabe am schnellsten zum Ziel als Lohn für das "strukturelle Erkennen".

Das Schema F bei diesem Aufgabentyp würde ich jedoch im Lösen eines LGS sehen.
Nicht mit konkreten Zahlen für den Scharparameter, sondern allgemein wie oben vorgeführt.
Die Lösungsmenge beantwortet zunächst die gestellte Frage nach der Existenz einer solchen Geraden g und liefert gleichzeitig durch die Unabhängigkeit vom Parameter den Beweis dafür, dass g in jeder Scharebene liegt.
Abschließend überlegt man sich dann noch wie man die Lösungsmenge als Gerade umschreibt und hat damit alle geforderten Aspekte in der vorgesehenen Reihenfolge der Aufgabenstellung beantwortet.

Man muss sich gewiss nicht an so eine feste Vorgehensweise klammern, der Aufgabensteller hatte nach meinem Dafürhalten aber vermutlich genau diesen Weg im Sinn.

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