Ring und Komposition von Funktionen

27.05.2024, 00:27	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ring und Komposition von Funktionen Hallo , Angenommen $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist die Menge der reellwertigen Funktionen auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} (S,+, \circ) \end{eqnarray}$ , wobei " $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ " die Komposition von Funktionen bezeichnet, dann ein Ring? Ich würde argumentieren, dass $\begin{eqnarray} (S,+, \circ) \end{eqnarray}$ kein Ring ist, denn die distributiv Eigenschaft $\begin{eqnarray} a \circ (b + c) = a\circ b + a \circ c \end{eqnarray}$ ist nicht erfüllt. Ein Beispiel hierzu: Seien $\begin{eqnarray} a := x^2, b := x+1, c:= x-2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} a \circ (b + c) = (2x-1)^2 \neq (x+1)^2 + (x-2)^2 \end{eqnarray}$ Geht das als Argument, und oder scheitert es an weiteren Bedingungen?
27.05.2024, 09:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem ich beide Seiten ausgerechnet habe stimme ich zu, dass in diesem Beispiel ein Distributivgesetz verletzt wird. Damit ist S kein Ring.
27.05.2024, 09:40	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo @Elvis, danke für deine Antwort Ich ergänze das noch: $\begin{eqnarray} (2x-1)^2 = 4x^2-4x+1 \neq 2x^2-2x+5 = (x+1)^2 + (x-2)^2 \end{eqnarray}$ .
27.05.2024, 10:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ziemlich sicher ist es einzig an Distributitvität an der es scheitern kann. Addition ist ja praktisch die für reelle Zahlen und erfüllt so ziemlich jede positive Eigenschaft. Verkettung hat auf den rellen Zahlen hat nicht ansatzweise so viele positive Eigenschaften, braucht sie aber auch nicht für die "Multiplikation" in einem Ring. Dafür reicht es sicher. Das einzige wo es kritisch wird, ist die fehlende Harmonie zwischen Addition und Verkettung. Konzepte passen absolut nicht zusammen, was auch dein Beispiel zeigt.
27.05.2024, 10:55	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank @IfindU
27.05.2024, 10:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkt man sich auf lineare Funktionen im Sinn der Linearen Algebra, hier also die Proportionalitäten $\begin{align} \varphi_a: x \mapsto ax \end{align}$ (mit konstantem $\begin{align} a \in \mathbb{R} \end{align}$ ), dann ist die Menge $\begin{align} R \end{align}$ der $\begin{align} \varphi_a \end{align}$ mit punktweiser Addition und der Verkettung als Multiplikation ein Ring $\begin{align} \left( R,+,\circ \right) \end{align}$ , letztlich isomorph zum Ring der 1×1-Matrizen und damit zum Ring $\begin{align} \left( \mathbb{R},+,\cdot \right) \end{align}$ mit reeller Addition und Multiplikation. Der natürliche Isomorphismus ist $\begin{align} \varphi_a \mapsto a \end{align}$ . Der Verkettung der $\begin{align} \varphi_a \end{align}$ entspricht die Multiplikation der $\begin{align} a \end{align}$ . EDIT Suggestivere Bezeichnungen gewählt.
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