Ring und Einheit

27.05.2024, 09:50

KonverDiv

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Ring und Einheit

Hallo

smile

,

Angenommen $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist ein Ring mit $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ , wir nehmen weiter an, dass es ein eindeutiges $\begin{eqnarray*} b \in R \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ . Ich möchte nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Einheit im Ring ist.

Mein Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ und Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ von links, sodass $\begin{eqnarray*} b(ab) = (ba)b = b1 = b \end{eqnarray*}$ , daraus folgt nun $\begin{eqnarray*} (ba-1)b = 0 \end{eqnarray*}$ . Entweder ist $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ , was nicht sein kann, oder $\begin{eqnarray*} ba-1 = 0 \end{eqnarray*}$ . In letzterem Fall impliziert dies $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ . Wir hätten somit $\begin{eqnarray*} ba = 1 = ab \end{eqnarray*}$ , aber heißt das nicht, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ beides Einheiten sind?! verwirrt

verwirrt

27.05.2024, 10:52

IfindU

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RE: Ring und Einheit
Der Satz vom Nullprodukt braucht die Nullteilerfreiheit. Das ist hier nicht zwingend gegeben. So ist z.B. im Ring $\begin{eqnarray*} Z_4 \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2 = 0 \end{eqnarray*}$ ohne dass $\begin{eqnarray*} 2 = 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Ich frag mich ob die Aussage gilt, wenigstens die reine "Gruppenversion" der Aussage ist falsch StackExchange.

27.05.2024, 10:55

Elvis

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$\begin{eqnarray*} b(ab)=(ba)b=1b\Rightarrow (ba)b-1b=(ba-1)b=0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ kann nicht sein, aber warum ist dann $\begin{eqnarray*} ba-1=0 \end{eqnarray*}$ ? In nullteilerfreien Ringen gilt das, also insbesondere in Körpern. In allgemeinen Ringen kann ein Produkt 0 sein ohne dass ein Faktor 0 ist.

27.05.2024, 11:01

Leopold

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Es gibt durchaus Beispiele für Ringe, in denen ein Element ein Rechtsinverses besitzt, das aber nicht zugleich linksinvers ist. Wenn die in Frage stehende Behauptung also stimmt, muß es mit der Eindeutigkeit des Rechtsinversen zu tun haben.

27.05.2024, 11:03

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
In allgemeinen Ringen kann ein Produkt 0 sein ohne dass ein Faktor 0 ist.

Ja genau, das wird durch das Beispiel von @IfindU belegt.

Wenn ich nicht $\begin{eqnarray*} ba-1=0 \end{eqnarray*}$ angenommen hätte, hätte ich nicht $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ zeigen können?! verwirrt

verwirrt

27.05.2024, 11:09

Elvis

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Ja. $\begin{eqnarray*} ba=1 \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} ba-1=0 \end{eqnarray*}$ .

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27.05.2024, 11:13

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Ja. $\begin{eqnarray*} ba=1 \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} ba-1=0 \end{eqnarray*}$ .

Genau.

Dennoch ist der Einwand von @IfindU beachtenswert, aber für $\begin{eqnarray*} ba-1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ wüsste ich tatsächlich keinen Weg, die in der Aufgabe stehende Gleichheit von $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Daher war für mich "naheliegend" $\begin{eqnarray*} ba-1=0 \end{eqnarray*}$ anzunehmen.

27.05.2024, 11:16

Elvis

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Das ist ein verständlicher Wunsch, aber noch kein Beweis. Wir sind alle noch am nachdenken und haben bislang noch keine Antwort gefunden.

Nachtrag: Hier ist ein Gegenbeispiel : https://de.wikipedia.org/wiki/Einheit_(Mathematik)
Das ist, wie Leopold sagte, nur dann ein Gegenbeispiel, wenn B eindeutig ist !

27.05.2024, 11:39

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
Nachtrag: Hier ist ein Gegenbeispiel : https://de.wikipedia.org/wiki/Einheit_(Mathematik)
Das ist, wie Leopold sagte, nur dann ein Gegenbeispiel, wenn B eindeutig ist !

Worin liegt hier genau das Gegenbeispiel? Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann haben wir durch $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ eine Linkseinheit, aber damit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine "echte" Einheit ist, müsste auch gelten $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ , aber das ist nicht zwangsläufig zu erfüllen.

27.05.2024, 12:16

Elvis

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Ja, das ist nicht notwendig. Aus AB=1 folgt nicht BA=1.
Du wolltest zeigen, dass es dann folgt, wenn B eindeutig ist.

27.05.2024, 12:28

KonverDiv

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Wie führt denn dann die Eindeutigkeit zu dem Gegenbeispiel? Einfach weil $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ (rechtsinverse) etwas anderes ist als $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ (linksinverse)?

27.05.2024, 12:44

IfindU

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RE: Ring und Einheit
Nehmen wir mal den Ansatz von StackExchange: Sei $\begin{eqnarray*} T_a \colon R \to R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T_ax = a *x \end{eqnarray*}$ . Dann existiert $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T_ab = a * b =1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} T_a \circ T_b = T_{a*b} = T_1 = Id_R \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} T_a \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und $\begin{eqnarray*} T_b \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig mit $\begin{eqnarray*} a*b = 1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt (und das ist noch zu zeigen!): $\begin{eqnarray*} T_a \end{eqnarray*}$ ist injektiv.
Damit folgt sofort $\begin{eqnarray*} T_a \end{eqnarray*}$ bijektiv und damit die Aussage.

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} T_a x = 1 \implies x = b \end{eqnarray*}$ aufgrund der Eindeutigkeit. Folgt nun $\begin{eqnarray*} T_a x = y \implies x = by \end{eqnarray*}$ ? : verwirrt

verwirrt

27.05.2024, 13:39

KonverDiv

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RE: Ring und Einheit
Ok, jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig mit $\begin{eqnarray*} a*b=1 \end{eqnarray*}$ , das heißt dann auch, dass $\begin{eqnarray*} b*a = 1 \end{eqnarray*}$ (damit wäre $\begin{eqnarray*} T_a \end{eqnarray*}$ nicht injektiv) nicht auftreten kann, weil dies die Eindeutigkeit verletzen würde?

27.05.2024, 15:43

Leopold

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@ IfindU / KonverDiv

Irgendwie kann ich euren Aussagen nicht mehr folgen. Mir sind da zu viele Verneinungen in der Verneinung. Ich will daher hier noch einmal festhalten, was zu zeigen ist:

Wir haben einen Ring mit Einselement (den trivialen Nullring schließen wir aus) und ein spezielles Element $\begin{align*} a \end{align*}$ , zu dem es ein, aber auch nur ein $\begin{align*} b \end{align*}$ mit $\begin{align*} ab=1 \end{align*}$ gibt. Mit diesen Voraussetzungen ist $\begin{align*} ba=1 \end{align*}$ zu folgern oder gegebenenfalls durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen.

27.05.2024, 15:56

IfindU

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RE: Ring und Einheit
Ich habe keine einzige Verneinung in meiner Aussage verwirrt

verwirrt

Genau zu der Aussage hatte ich an einem Beweis laut nachgedacht.

Edit: Ok, war doof weil ich anfangen hatte zu schreibe ehe KonvDiv geschrieben hat. Es sollte keine direkte Antwort darauf sein.

27.05.2024, 16:32

Elvis

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Habe nach ein paar Stunden noch einmal versucht, die Aussage zu beweisen.

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} ab=1, b \end{eqnarray*}$ eindeutig.
Behauptung: $\begin{eqnarray*} ab=ba \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} ab=1\Rightarrow 1=1\cdot 1=(ab)(ab)=a(bab) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b=bab=b(ab)=(ba)b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ab \end{eqnarray*}$ ist ein rechtsneutrales Element von $\begin{eqnarray*} b, ba \end{eqnarray*}$ ist ein linksneutrales Element von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$
Es ist aber auch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ rechstneutral und linksneutral von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} b1=1b=b \end{eqnarray*}$

Preisfrage: Folgt daraus $\begin{eqnarray*} ab=1=ba \end{eqnarray*}$ ?
Anders gefragt: Kann es in einem Ring mit 1 zwei linksneutrale Elemente eines Elements $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ geben ?

27.05.2024, 16:33

KonverDiv

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Zitat:

Original von Leopold
Wir haben einen Ring mit Einselement (den trivialen Nullring schließen wir aus) und ein spezielles Element $\begin{align*} a \end{align*}$ , zu dem es ein, aber auch nur ein $\begin{align*} b \end{align*}$ mit $\begin{align*} ab=1 \end{align*}$ gibt. Mit diesen Voraussetzungen ist $\begin{align*} ba=1 \end{align*}$ zu folgern oder gegebenenfalls durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen.

Ja, ganz genau. Ich war jetzt nur mental noch bei dem was Elvis gesagt hatte:

Zitat:

Original von Elvis
Nachtrag: Hier ist ein Gegenbeispiel : https://de.wikipedia.org/wiki/Einheit_(Mathematik)

und frage mich wo genau Elvis das gefunden hat... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Elvis
Habe nach ein paar Stunden noch einmal versucht, die Aussage zu beweisen.

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} ab=1, b \end{eqnarray*}$ eindeutig.
Behauptung: $\begin{eqnarray*} ab=ba \end{eqnarray*}$
Beweis: $\begin{eqnarray*} ab=1\Rightarrow 1=1\cdot 1=(ab)(ab)=a(bab) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b=bab=b(ab)=(ba)b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ab \end{eqnarray*}$ ist ein rechtsneutrales Element von $\begin{eqnarray*} b, ba \end{eqnarray*}$ ist ein linksneutrales Element von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$
Es ist aber auch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ rechstneutral und linksneutral von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} b1=1b=b \end{eqnarray*}$

Preisfrage: Folgt daraus $\begin{eqnarray*} ab=1=ba \end{eqnarray*}$ ?
Anders gefragt: Kann es in einem Ring mit 1 zwei linksneutrale Elemente eines Elements $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ geben ?

Ok so ähnlich habe ich auch angefangen?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Siehe oben... jetzt kapier ich aber was genau du vorhin sagen wolltes... Freude

Freude

27.05.2024, 16:37

Elvis

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Bei dem Wikipedia-Link musst du auf die Zeile klicken, in der "Einheit (Mathematik), Element der Algebra" steht (ziemlich weit oben). Dann findest du das Beispiel mit Matrizen ganz weit unten.

28.05.2024, 09:40

Elvis

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Ich habe immer noch keinen Beweis und kein Gegenbeispiel. Klar ist, dass die "Einheitengruppe" eines Rings deswegen "...gruppe" heißt, weil sie eine Gruppe ist. Für Einheiten gilt stets ab=ba=1, und in einer Gruppe ist das Inverse eines Elements eindeutig bestimmt. Die Aufgabe läuft also darauf hinaus, gewissermaßen eine Umkehrung zu beweisen oder zu widerlegen: "Wenn ein Links- oder Rechtsinverses eindeutig bestimmt ist, dann ist es eine Einheit."

28.05.2024, 09:50

KonverDiv

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Ich habe mir das auch nochmal angesehen, und würde mal laut denken.

Sei $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig.
Dann können wir schreiben $\begin{eqnarray*} aba = 1 \cdot a = a \end{eqnarray*}$ .
Weiter haben wir $\begin{eqnarray*} (aba)ba = a(bab)a = aba = a \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} bab \end{eqnarray*}$ fungiert wie $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eindeutig ist, folgt $\begin{eqnarray*} bab = b \end{eqnarray*}$ , woraus weiter folgt $\begin{eqnarray*} ab = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ba = 1 \end{eqnarray*}$ .

28.05.2024, 10:58

Elvis

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$\begin{eqnarray*} ab=1 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung. $\begin{eqnarray*} bab=b \end{eqnarray*}$ stimmt.
Aber wie folgt daraus $\begin{eqnarray*} ba=1 \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ muss kein inverses Element haben, also können wir nicht $\begin{eqnarray*} bab=b \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} ba=babb^{-1}=bb^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ kürzen.

28.05.2024, 11:20

KonverDiv

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Ärgerlich, ich hatte vergessen, dass nur weil ein Ring die Gruppenaxiome bezüglich der Operation "+" erfüllt, dies nicht automatisch heißt, dass das auch für die Operation " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " gilt...

28.05.2024, 11:59

jester.

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Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} ab=1 \end{eqnarray*}$ , dementsprechend haben wir
$\begin{eqnarray*} 0 = a-a = a-(ab)a \end{eqnarray*}$ .
Addieren wir $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ links und $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ rechts, so erhalten wir
$\begin{eqnarray*} 1=a-(ab)a+ab = a(1-ba+b) \end{eqnarray*}$ .

Aufgrund der Eindeutigkeitseigenschaft folgt $\begin{eqnarray*} 1-ba+b = b \end{eqnarray*}$ , woraus unmittelbar $\begin{eqnarray*} 1=ba \end{eqnarray*}$ folgt.

28.05.2024, 12:10

Leopold

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Zitat:

Original von jester.
... woraus unmittelbar $\begin{eqnarray*} 1=ba \end{eqnarray*}$ folgt.

So ist's!
Wie so oft: keine komplizierte Rechnung, aber man muß drauf kommen!
Danke für die Lösung!

(Noch eine Frage interessehalber: Selber gefunden? Oder schon mal wo gesehen und wieder daran erinnert?)

28.05.2024, 12:18

Elvis

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Gut so.

Freude

Das kommt in meine Trickkiste.

28.05.2024, 12:39

KonverDiv

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Zitat:

Original von jester.
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} ab=1 \end{eqnarray*}$ , dementsprechend haben wir
$\begin{eqnarray*} 0 = a-a = a-(ab)a \end{eqnarray*}$ .
Addieren wir $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ links und $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ rechts, so erhalten wir
$\begin{eqnarray*} 1=a-(ab)a+ab = a(1-ba+b) \end{eqnarray*}$ .

Aufgrund der Eindeutigkeitseigenschaft folgt $\begin{eqnarray*} 1-ba+b = b \end{eqnarray*}$ , woraus unmittelbar $\begin{eqnarray*} 1=ba \end{eqnarray*}$ folgt.

Klasse! Danke für diese Einsicht!

28.05.2024, 17:24

jester.

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Zitat:

Original von Leopold
(Noch eine Frage interessehalber: Selber gefunden? Oder schon mal wo gesehen und wieder daran erinnert?)

Ich glaub irgendwas dazwischen. Also genau diese Aussage habe ich - glaube ich - nicht gesehen. Aber ähnliche Beweise habe ich schonmal gesehen, und so konnte ich mir das dann zusammenbauen. smile

smile

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