Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung

28.05.2024, 12:57

Kognitivist

Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung

Meine Frage:
Es geht um eine Umformung der "polaren Form" komplexer Zahlen aus May, K (1959/2019) S. 373-375.

Zu zeigen wäre, dass bei der polaren Form komplexer Zahlen, also mit r und Winkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ die Länge des Quotienten dem Quotienten der Länge entspricht und der Winkel des Quotienten der Differenz der Winkel. Man soll dabei folgende Zusammenhänge nutzen:

(1) $\begin{eqnarray*} \left[(x,y) = (r, \theta)p \right] = \left[x + yi = r (cos \theta + i sin \theta) \right] \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a,b)} = \frac{(a, -b)}{(a^{2} + b^{2}) } \end{eqnarray*}$

und
(3) $\begin{eqnarray*} cos ( - \theta) = cos \theta; sin ( - \theta) = - sin \theta \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich rechne folgendermaßen unter Nutzung o.a. (2):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(r, \theta) p} = \frac{(r, - \theta)p}{(r^{2} + \theta^{2}) } \end{eqnarray*}$

Nun nutze ich o.a. (1): $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r (cos \theta + i sin \theta) } = \frac{r (cos \theta - i sin \theta) }{( r^{2} + \theta^{2} ) } \end{eqnarray*}$

wobei ich für die Zähler-Umformung des rechten Terms o.a. (3) nutze.

Das ergibt die Gleichung: $\begin{eqnarray*} r^{2} + \theta^{2} = r^{2} (cos \theta - i sin \theta) (cos \theta + i sin \theta) \end{eqnarray*}$ .

Ich multipliziere den rechten Gleichungsteil aus, vereinfache unter Nutzung der Regel für komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} i^{2} = - 1 \end{eqnarray*}$ und komme zu $\begin{eqnarray*} r^{2} + \theta^{2} = r^{2} (cos^{2} \theta + i cos \theta sin \theta - i cos \theta sin \theta - i^{2} sin^{2} \theta ) \end{eqnarray*}$ . Da ja $\begin{eqnarray*} - i^{2} = - (-1) = +1 \end{eqnarray*}$ , reduziert sich das zu: $\begin{eqnarray*} r^{2} + \theta^{2} = r^{2} ( cos^{2} \theta + sin^{2} \theta) \end{eqnarray*}$ .

Da ja gilt: $\begin{eqnarray*} cos^{2} \theta + sin^{2} \theta = 1 \end{eqnarray*}$ komme ich zu der Gleichung: $\begin{eqnarray*} r^{2} + \theta^{2} = r^{2} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \theta^{2} = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \theta = 0 \end{eqnarray*}$ , was leider ziemlicher Blödsinn ist und mir beim Beweis nicht weiterhilft.

Wo liegt mein Fehler bzw. was habe ich falsch gemacht, obwohl ich genauso vorgegangen bin wie im Lehrbuch (s.o.) empfohlen wurde?

28.05.2024, 13:25

Steffen Bühler

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung

Zitat:

Original von Kognitivist
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(r, \theta) p} = \frac{(r, - \theta)p}{(r^{2} + \theta^{2}) } \end{eqnarray*}$

Nein, das gilt so nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac 1{ \left(1, \frac {\pi}2 \right) p} \neq \frac { \left(1, - \frac {\pi}2 \right) p}{1^2 + \left( \frac {\pi}2 \right)^2} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

28.05.2024, 13:31

Kognitivist

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Okay, macht Sinn, sehe ich ja auch am Ergebnis meiner Rechnungen, dass Blödsinn rauskommt.

Aber wie soll ich stattdessen vorgehen? Die Hinweise im Lehrbuch zur Lösung (dort werden nur Hinweise gegeben, keine genauen Lösungswege....) habe ich so verstanden, andere Ideen hätte ich nicht.

28.05.2024, 13:45

Kognitivist

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Die Aufgabe lautet im Wortlaut "Show that the length of the quotient ist the quotient of the lengths and the angle of the quotient is the difference of the angles."

Möglicherweise wird damit ja Folgendes gemeint:

$\begin{eqnarray*} \frac{(r_{1} , \theta_{1} )_{p} }{(r_{2} , \theta_{2}) _{p} } = ( \frac{r_{1} }{ r_{2} } , ( \theta_{1} - \theta_{2}) ) \end{eqnarray*}$ ?

Macht das Sinn bzw. soll ich da mal weiter rechnen?
Oder versteh' ich die Aufgabe einfach nicht richtig?

28.05.2024, 13:46

Steffen Bühler

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Überleg mal, was anstelle von $\begin{eqnarray*} r^2+ \theta^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner stehen muss. Dann kannst Du die Formel nämlich gut verwenden.

Und dann würde ich in der Tat zwei komplexe Zahlen einführen, die Du dividierst, also $\begin{eqnarray*} (r_1, \theta_1)_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (r_2, \theta_2)_p \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere die erste mit dem Kehrwert der zweiten und forme um.

28.05.2024, 14:02

Kognitivist

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Was muss im Nenner stehen?

$\begin{eqnarray*} r^{2} + (cos \theta + i sin \theta) ^{2} \end{eqnarray*}$

???

28.05.2024, 14:06

Steffen Bühler

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Nicht raten.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(a,b)} = \frac{(a, -b)}{(a^{2} + b^{2}) } \end{eqnarray*}$

Hier geht es ja um Realteil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Imaginärteil $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Und Du weißt doch sicherlich, was dann der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ bedeutet. Du könntest es Dir auch aus den gegebenen Formeln herleiten, aber so geht's schneller.

28.05.2024, 14:14

Kognitivist

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Warum führst Du jetzt eine Quadratwurzel ein?

28.05.2024, 14:23

Kognitivist

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Das Problem ist doch, ich bekomme offenbar den Übersprung von der rechtwinkligen Darstellungsform komplexer Zahlen (a,b) = a + ib zur polaren Form $\begin{eqnarray*} r (cos \theta + i sin \theta) \end{eqnarray*}$ (noch?) nicht hin,
komplexe Zahlen sind ja auch keine einfache Kost.....

Kannst Du ein wenig deutlicher werden?

28.05.2024, 14:30

Steffen Bühler

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RE: Darstellung komplexer Zahlen in polarer Form / Umformung
Es gilt hier

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt {a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \tan \theta = \frac ba \end{eqnarray*}$

Zitat:

komplexe Zahlen sind ja auch keine einfache Kost.

Zum Glück gibt es ja unseren Workshop.

28.05.2024, 14:47

HAL 9000

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Betrachten wir mal noch nicht den Quotienten, sondern erstmal einfach nur den Kehrwert in Polardarstellung. Dann ist (in deiner sehr eigenwilligen Symbolik) und streng mit dem, was du verwenden darfst

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(r,\theta)_p} \stackrel{(1)}{=} \frac{1}{(r\cos\theta,r\sin\theta)} \stackrel{(2)}{=} \frac{(r\cos\theta,-r\sin\theta)}{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2} = \frac{(r\cos\theta,-r\sin\theta)}{r^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)} \end{eqnarray*}$

Nun den trigonometrischen Pythagoras, noch ein paar weitere Umformungen unter Nutzung von (3), und du kannst via (1), nur rückwärts gelesen, wieder zu einer Polardarstellung zurückkehren.

28.05.2024, 16:36

Kognitivist

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Okay, danke erstmal euch Beiden.

Ich versuch es mal heute Abend in Ruhe und melde mich morgen nochmal wenn es nicht geklappt hat.

Dass das $\begin{eqnarray*} r^{2} \end{eqnarray*}$ dass im Nenner übrig bleibt logischerweise dem $\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$
in der Gleichung für komplexe Zahlen in nicht-polarer Darstellung entspricht ist schon klar (auch hier: Pythagoras).

Falls ich mich nicht melde, habe ich es irgendwie hinbekommen.

28.05.2024, 17:53

Kognitivist

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Na gut, ich habe es doch hinbekommen.

Ich rechne mal: $\begin{eqnarray*} \frac{r_{1} (cos \theta_{1} + i sin \theta_{1}) r_{2} (cos \theta_{2} - i sin \theta_{2}) }{r_{2} ^{2} } = \frac{r_{1} r_{2} (cos \theta_{1} cos \theta_{2} - i^{2} sin \theta_{1} sin \theta_{2} + i (sin \theta_{1} cos(-\theta_{2}) + cos \theta_{1} sin (-\theta_{2}))) }{r_{2} ^{2} } = \frac{r_{1} }{r_{2} } (cos (\theta_{1} - \theta_{2}) + i sin (\theta_{1} - \theta_{2})) \end{eqnarray*}$

Genau da will ich hin, denn das ist ja nach meiner Formel (1) nix Anderes als:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{r_{1} }{r_{2} } , \theta_{1} - \theta_{2} \right) _{p} \end{eqnarray*}$

q.e.d

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