Flächenintegrale in zwei Reihenfolgen

29.05.2024, 06:54

Vitra

Flächenintegrale in zwei Reihenfolgen

Meine Frage:
gegeben sei der Normalbereich 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x
Berechnet werden soll das Flächenintegral über e^(x^2)
Dabei soll entschieden werden, welche Reihenfolge leichter ist.

Meine Ideen:
Was ist hier mit Reihenfolge gemeint.
Also für den gegebenen Normalbereich habe ich (e-1)/2 erhalten. (Zuerst über y integriert von 0 bis x, dann über x von 0 bis 1)
Lässt sich der Normalbereich irgendwie umschreiben, durch x und y vertauschen, um so eine weitere Reihenfolge zu erhalten?

29.05.2024, 08:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Vitra
gegeben sei der Normalbereich 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x

Das soll wohl $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1,0\leq y\leq x \end{eqnarray*}$ heißen (warum unterlassen so viele Leute das Kontrolllesen nach dem Abschicken?).

Gemeint ist hier, dass du die Integrationsreihenfolge vertauschst, d.h., zunächst innen über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und dann außen über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrierst. Dabei ist natürlich zu beachten, was das für den hier vorliegenden dreieckigen Integrationsbeweis bedeutet. Nach Satz von Fubini gilt dann

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \int\limits_0^x e^{x^2} ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^1 \int\limits_y^1 e^{x^2} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Das Integral auf der linken Gleichungsseite hast du richtig ausgerechnet - wie sieht es mit dem Ausrechnen auf der rechten Seite aus?

29.05.2024, 08:54

Vitra

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Hallo, vielen Dank.
Wie kommt man auf die Grenzen des zweiten Integrals, sprich wie wandelt man den gegebenen Normalbereich um, also y zwischen 0 und 1 und dann wie kommt man auf x zwischen 1 und y.

29.05.2024, 10:06

HAL 9000

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Das zweidimensionale Integrationsgebiet umfasst alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

a) Das bedeutet bei äußerer Integration über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ , und dann festgehaltenem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für die innere Integration $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq x \end{eqnarray*}$ .

b) Bei äußerer Integration über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ haben wir ebenfalls $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray*}$ , aber für festgehaltenes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dann für die innere Integration $\begin{eqnarray*} y\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Zeichne dir ein Bild dieses Integrationsgebiets (Dreieck), wenn es immer noch nicht klar sein sollte.

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