Ungleichung Wahrscheinlichkeit

30.05.2024, 22:09

Hannah12

Ungleichung Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Gegeben sei eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ endlich und definiere $\begin{eqnarray*} \mathbb E_{\mathbb p}(f)=\sum\limits_{x\in X}^{} f(x)\mathbb p(x) \end{eqnarray*}$ , in analogerweise definiere man die Varianz, im weiteren Verlauf $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ genannt. Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb p \end{eqnarray*}$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , man zeige: $\begin{eqnarray*} \mathbb p(f^{-1}((m+\frac{r\sigma}{2}, \infty) ))\geq 1-\frac{4}{r^2} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} m\leq \mathbb E_{\mathbb p}(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\mathbb E_{\mathbb p}(f)-m| \geq r\sigma \end{eqnarray*}$ gelten.

Meine Ideen:
Tschebischeff Ungleichung liegt irgendwie nahe, aber ganz will es mir nicht funktionieren

31.05.2024, 09:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hannah12
in analogerweise definiere man die Varianz, im weiteren Verlauf $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ genannt.

Die Varianz ist normalerweise $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ , und ich nehme an, mit "analogerweise" meinst du $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = \sum_{x\in X} \left(f(x)-\mathbb{E}_{\mathbb{p}}(f)\right)^2 \cdot \mathbb{p}(x) \end{eqnarray*}$ .

Deine zwei Bedingungen an $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kann man zu einer zusammenfassen, nämlich $\begin{eqnarray*} m\leq \mathbb{E}_{\mathbb{p}}(f) - r\sigma \end{eqnarray*}$ .

Nachzuweisen ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{p}\left( f > m + \frac{r\sigma}{2} \right) \geq 1-\frac{4}{r^2} \end{eqnarray*}$ , wobei es wegen der Maßmonotonie reicht das für den "worst-case" $\begin{eqnarray*} m = \mathbb{E}_{\mathbb{p}}(f) - r\sigma \end{eqnarray*}$ zu zeigen, d.h. eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{p}\left( f - \mathbb{E}_{\mathbb{p}}(f) > - \frac{r\sigma}{2} \right) \geq 1-\frac{4}{r^2} \end{eqnarray*}$ .

Tja, und das sollte doch mit Tschebyscheff kein Problem sein.

P.S.: Ich hatte oben stillschweigend vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ ist. Für $\begin{eqnarray*} r<0 \end{eqnarray*}$ passiert folgendes:

Bedingung $\begin{eqnarray*} \left| \mathbb E_{\mathbb p}(f)-m \right| \geq r\sigma \end{eqnarray*}$ ist dann automatisch erfüllt, es geht also nur um $\begin{eqnarray*} m\leq \mathbb E_{\mathbb p}(f) \end{eqnarray*}$ . Dann ist aber

$\begin{eqnarray*} \mathbb{p}\left( f > m + \frac{r\sigma}{2} \right) = \mathbb{p}\left( f > m - \frac{|r|\sigma}{2} \right) \geq \mathbb{p}\left( f > \mathbb E_{\mathbb p}(f) - \frac{|r|\sigma}{2} \right) \end{eqnarray*}$

wiederum wegen Maßmonotonie, der Rest verläuft genau wie oben, nur mit $\begin{eqnarray*} |r| \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

D.h., die Aussage ist tatsächlich für alle reellen $\begin{eqnarray*} r\neq 0 \end{eqnarray*}$ gültig.

31.05.2024, 12:09

Hannah12

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Vielen Dank, hat mir sehr geholfen smile

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