Ring, Einheit und Norm

31.05.2024, 16:55

KonverDiv

Ring, Einheit und Norm

Hallo

,

Angenommen $\begin{eqnarray*} R := \left\{a+b\sqrt{2} \, | \, a,b \in \mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$ ist ein Ring und wir definieren die Norm $\begin{eqnarray*} N(r) = a^2 -2b^2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} r = a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Ich möchte zeigen, dass falls $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ eine Einheit in dem Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} N(r) \pm 1 \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz ist nun der Folgende.
Wir wissen $\begin{eqnarray*} r = a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist eine Einheit in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit anderen Worten wir können ein $\begin{eqnarray*} r' \in R \end{eqnarray*}$ finden, sodass gilt $\begin{eqnarray*} r \cdot r' = 1 = r' \cdot r \end{eqnarray*}$ .
Wir wissen außerdem $\begin{eqnarray*} N(1) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N(r \cdot r') = 1 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} N(r \cdot r') = N(r)N(r') \end{eqnarray*}$
Wir setzen nun $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2}) := r \cdot r' \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} 1 = N(1) = N(r \cdot r') = N(r)N(r') \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt $\begin{eqnarray*} N(r) \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist eine Einheit.
Die Einheiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} -1,+1 \end{eqnarray*}$ , wodurch wir $\begin{eqnarray*} N(r) = a^2 -2b^2 = \pm 1 \end{eqnarray*}$ erhalten, was zu zeigen war.

Ist das als Beweis so gut, oder seht ihr Verbesserungen? verwirrt

31.05.2024, 18:02

Elvis

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Zitat:

Original von KonverDiv
Wir setzen nun $\begin{eqnarray*} (a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2}) := r \cdot r' \end{eqnarray*}$ .

Das ist nicht ganz richtig. Es ist per def $\begin{eqnarray*} N(a+b\sqrt 2)=a^2-2b^2=(a+b\sqrt 2)(a-b\sqrt 2)<br /> \end{eqnarray*}$

Ganz unabhängig von der speziellen Definition der Norm folgt schon aus der Multiplikativität das Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 1=N(1)=N(rr')=N(r)N(r')\in \mathbb Z^2\Rightarrow N(r)=\pm 1 \end{eqnarray*}$
Das heißt, dass der Schluß deines Beweises schon der ganze Beweis ist. (Eigentlich ist alles richtig bis auf die von mir beanstandete Zeile.)

Jetzt musst du "nur noch" die Einheiten von R berechnen.

01.06.2024, 09:55

KonverDiv

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Hallo @Elvis, danke für deine Korrektur Freude

. Die von dir beanstandete Zeile wollte ich eigentlich auch noch rausgenommen haben Augenzwinkern

Zu deiner Frage mit den Einheiten in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Man könnte sich überlegen, dass $\begin{eqnarray*} (1+ 1\sqrt{2})(-1 + 1 \sqrt{2}) = 1 \end{eqnarray*}$ ist, daraus kann man schließen, dass $\begin{eqnarray*} (1 + 1\sqrt{2})^k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} -(1 + 1\sqrt{1})^k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , Einheiten in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sind.

01.06.2024, 12:51

Elvis

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Genau so ist es nach dem Dirichletschen Einheitensatz. In der Tat ist $\begin{eqnarray*} \epsilon =1+\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ die Grundeinheit und $\begin{eqnarray*} R^{\times}=\mathbb E=\{\pm \epsilon ^k|k\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ die Einheitengruppe von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

01.06.2024, 12:54

KonverDiv

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Hallo @Elvis smile

den Dirichletschen Einheitensatz kannte ich noch nicht, bis jetzt. Danke für den Hinweis. Freude

Dann war mein Gedankengang gar nicht so falsch...

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