Magisches Sechseck
Neue Frage »

02.06.2024, 13:53 Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
Magisches Sechseck
Meine Frage:
Magische Quadrate gibt es wie Sand am Meer. Hier wird ein magisches Sechseck gesucht.
[attach]57816[/attach]
Man belege die 19 Sechsecke mit den Zahlen 1,2,...,19 derart, dass die Summen eine Reihe alle gleich sind. Eine Reihe sind aneinander grenzte Sechsecke, deren Mittelpunkte auf einer Geraden liegen. Z.B. bilden die Sechsecke z_1, z_2, z_3 oder z_2, z_5, z_9, z_13 oder z_1, z_5, z_10, z_15, z_19 eine Reihe. Die Reihen haben also eine unterschiedliche Länge.
09.06.2024, 08:43 Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Magisches Sechseck
Die Lösung dieser Rätselaufgabe ist nicht leicht zu finden. Die Reihensumme ist natürlich einfach zu sehen.
09.06.2024, 15:52 DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Interessante Rätselaufgabe. Ich beteilige mich mit der Reihensumme smile . Die 19 Sechsecke wurden auf zum Beispiel 5 horizontal verlaufende Reihen verteilt. Die jeweilige Reihensumme s ist:
09.06.2024, 16:00 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte ein Programm laufen lassen ... mache ich aber nicht, weil dann der Spaß zu schnell zu Ende ist. Erst mal tüfteln ...
09.06.2024, 16:15 Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DrummerS
Interessante Rätselaufgabe. Ich beteilige mich mit der Reihensumme smile . Die 19 Sechsecke wurden auf zum Beispiel 5 horizontal verlaufende Reihen verteilt. Die jeweilige Reihensumme s ist:

Das ist richtig.
09.06.2024, 19:34 Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Man könnte ein Programm laufen lassen ...

Das war auch mein Gedanke, um schnell für mich zu einer Lösung zu kommen. Ich habe den einfachen Ansatz verfolgt, alle möglichen Anordnungen der Zahlen 1 bis 19 im erwähnten Sechseck zu erzeugen und jedesmal stupide abzufragen, ob die Summen alle gleich sind. Ich habe aber nicht bedacht, welch gewaltige Zahl 19! ist - da läuft ein durchschnittlicher PC tagelang.

[attach]57836[/attach]

Als mathematischen Ansatz sehe ich den Weg über lineare Gleichungen. Es gibt einmal 15 Möglichkeiten der Reihenbildung mit Summe 38. Die Summe aller Zahlen ist auch bekannt - sind schon mal 16 Gleichungen.
Dann kann man weitermachen mit usw. . .
Das ergibt zwar mehr als 19 Gleichungen, aber, wie schon gesagt, einfach ist es nicht.
 Anzeige 
 
10.06.2024, 07:25 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gualtiero
Ich habe aber nicht bedacht, welch gewaltige Zahl 19! ist

In der Tat. Ich hab's jetzt nicht probiert, aber mit durch etwas Branch-and-Bound gebändigtem Bruteforce könnte ich mir vorstellen, dass man zum Ziel kommt:

Man baut die Permutation schrittweise auf, d.h. beispielsweise erstmal nur . Dann überprüft man schon mal die Bedingungen, soweit das bis dahin möglich ist, also hier etwa , und kann schon vor Vollendung der Permutation abbrechen, wenn solche Bedingungen nicht erfüllt sind. Außerdem muss man sich ja nicht an die vorgegebene Feldreihenfolge halten: Als nächstes wären vielleicht , dann usw. dran, so dass man mit schon früh (als wenigen Permutationselementen) möglichst viele der Gleichungsbedingungen checkt und ggfs abbrechen - und damit zur nächsten Permutation rücken - kann.

Auf diese Art kann man die Variantenzahl sicher drastisch unter 19! drücken. Leider kann man natürlich nicht mehr mit einem Standard-Generator für alle Permutationen arbeiten sondern muss sich selbst was ausdenken bzw. vorhandene so abändern, dass sie in das Branch-and-Bound-Schema passen.


Aber womöglich gibt es auch ein ganz einfaches Konstruktionsprinzip für eine Lösung (alle sind ja nicht gefordert). Augenzwinkern


@Gualtiero

Ob Lineare Algebra (abgesehen von der Erkenntnis "Summe 38") groß bei der Lösungsfindung findet, da habe ich meine Zweifel: Die Forderung, dass die Lösung eine Permutation von 1..19 sein muss, lässt sich da ja leider nur schwer abbilden.


EDIT: Gesagt, getan:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:

       3    17    18
   19     7     1    11
16     2     5     6     9
   12     4     8    14
      10    13    15
Da das Programm nur 12 Lösungen findet ist davon auszugehen, dass abgesehen von Drehungen + Spiegelungen tatsächlich nur diese eine Lösung existiert. Programmlaufzeit war ca. 80ms, d.h., der Permutationsbaum scheint ganz ordentlich beschnitten worden zu sein.

Quellcode der Kernroutine (in schlecht programmiertem C) liegt bei, Aufruf: Hexagon(0)
10.06.2024, 11:03 Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
EDIT: Gesagt, getan:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:

       3    17    18
   19     7     1    11
16     2     5     6     9
   12     4     8    14
      10    13    15
Da das Programm nur 12 Lösungen findet ist davon auszugehen, dass abgesehen von Drehungen + Spiegelungen tatsächlich nur diese eine Lösung existiert.

So ist es.

Die Lösung dieses Problems wurde mehrfach unabhängig voneinander gefunden. Die früheste bekannte stammt von Ernst von Haselberg (1827 – 1905), Stadtbaumeister von Stralsund. Er hatte 1888 in der „Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht“ den Lesern die Aufgabe gestellt. Mangels Einsendungen hat ein Jahr später selbst nachgetragen.

Man sieht, dass die sich Lösung auch ohne Computer finden lässt. Aber schwierig ist das dann.


Bei der Aufgabe hatten die äußeren Reihen die Länge 3 = der Zahl der Sechsecke in der Zeile.
Zusatzfrage: Wie sieht es mit Lösungen für andere Längen der äußeren Reihen aus? Das ist natürlich für HAL zu einfach.
10.06.2024, 11:05 willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Hier gibt es was dazu von Jürgen Köller:
http://mathematische-basteleien.de/magischessechseck.htm

Es gibt tatsächlich nur eine Lösung.
10.06.2024, 11:17 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Das ist natürlich für HAL zu einfach.

Na aus meiner obigen Herangehensweise zur Lösung (Bruteforce, wenn auch nicht das allerdümmste) kannst du diesen Schluss nicht ziehen. Augenzwinkern
10.06.2024, 12:04 Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Huggy
Das ist natürlich für HAL zu einfach.

Na aus meiner obigen Herangehensweise zur Lösung (Bruteforce, wenn auch nicht das allerdümmste) kannst du diesen Schluss nicht ziehen. Augenzwinkern

Meine Vermutung war, dass du auf die Lösung der Zusatzfrage im Nu kommen würdest, wie sie im Link von Willyengland beschrieben ist.

Verdammtes Internet!!! Gott
10.06.2024, 12:16 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich noch gar nicht gelesen. Aber richtig, wenn man da versucht die mittlere Summe zu berechnen, kommt man ja nach Polynomdivision mit Rest zwangsläufig zu diesem Befund "nur n=3 ist möglich".
11.06.2024, 09:23 Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ob Lineare Algebra (abgesehen von der Erkenntnis "Summe 38") groß bei der Lösungsfindung findet, da habe ich meine Zweifel: Die Forderung, dass die Lösung eine Permutation von 1..19 sein muss, lässt sich da ja leider nur schwer abbilden.

Ja, das glaube ich mittlerweile auch.

Ich hatte noch eine Hoffnung auf eine schwache Erkenntnis gesetzt: Wenn man nur die Summen entlang der sechs Kanten betrachtet, bekommt man sechs Gleichungen.
Daraus ergibt sich:

Das ist zwar eine Einschränkung, und entlang der Kanten sind "nur" zwölf Stellen zu besetzen, aber auch damit bleiben noch immer zu viele Möglichkeiten, die man prüfen muss.

[attach]57837[/attach]
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »


MatheBoard » Sonstiges » Rätsel & Wettbewerbe » Magisches Sechseck