Forcing und Philosophie

03.06.2024, 11:40

Elvis

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Forcing und Philosophie

Vor genau vier Jahren hatten wir eine kleine Debatte zum Thema $\begin{eqnarray*} ZFC\pm CH \end{eqnarray*}$ , wobei auch die Unabhängigkeitsbeweise von Kurt Gödel und Paul Cohen zur Sprache kamen. Siehe : Kontinuumshypothese (CH)

Nun habe ich ein sehr schönes Lehrbuch "Forcing" von Dirk W.Hoffmann (2018) durchgearbeitet https://www.amazon.de/Forcing-Eine-Einf%...e/dp/374604460X
Es enthält detaillierte und sehr gut kommentierte Definitionen, Sätze, Beweise und Übungsaufgaben zur Mengenlehre, Logik, Boolschen Algebren, Booleschen Modellen, partiell geordneten Mengen, der Forcing-Methode und die Unabhängigkeitsbeweise der Kontinuumshypothese.

Damit endet das Buch abrupt und lässt alle philosophischen Fragen offen, obwohl Hoffmannn zwischendurch zwecks Erläuterung der Booleschen Modelle auf eine mögliche Interpretation der Wahrheit von Aussagen in verschiedenen Welten hinweist, wobei er gleichzeitig deutlich macht, dass auch "unscharfe Mengen" nichts weiter als ganz gewöhnliche Funktionen sind.

Mathematisch ist damit alles klar (glaube ich).
a) Es gibt Modelle von $\begin{eqnarray*} ZFC \end{eqnarray*}$ , die zu wenig Mengen enthalten, so dass keine Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |\mathbb N|<|X|<|\mathbb R| \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} CH \end{eqnarray*}$ wahr.
b) Es gibt Modelle von $\begin{eqnarray*} ZFC \end{eqnarray*}$ , die zu wenig Bijektionen enthalten, so dass $\begin{eqnarray*} \aleph _1<|\mathbb R| \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} CH \end{eqnarray*}$ falsch.

Philosophisch ist weiterhin alles offen. Carolin Antos, Professorin an der Universität Konstanz, forscht seit einigen Jahren zu diesem Thema, bisher habe ich nur wenig Veröffentlichungen gefunden : https://uni-konstanz.academia.edu/CarolinAntos
Daraus schließe ich, dass unter Mathematikerinnen und Philosophen weiterhin viele verschiedene Positionen vertretbar sind und vertreten werden, was Universum vs Multiversum, Ontologie und Realität mathematischer Wahrheit betrifft.

Falls jemand umfassende Forschungsergebnisse dieser Projektarbeit von Carolin Antos kennt, würde ich mich sehr über Hinweise freuen. (Bis zum "Beweis" des Gegenteils bleibe ich (wie Gödel) realistischer Universalist, glaube also dass die natürlichen und die reellen Zahlen "eindeutig" "existieren" und $\begin{eqnarray*} CH \end{eqnarray*}$ entweder wahr oder falsch ist.)

03.06.2024, 14:09

zweiundvierzig

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Hier ist die Projektwebsite und ein Vortrag:
https://carolin-antos.net/forcing-conceptual-change-in-the-foundations-of-mathematics/
https://youtu.be/Dvaaeng21f8?feature=shared

Siehe auch z.B. diesen Vortrag von Woodin:
https://youtu.be/MVL7i-TbQVk?feature=shared

03.06.2024, 16:17

Elvis

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Danke, die Projektwebsite kenne ich. Ist es sehr naiv zu hoffen, dass bei einem Projekt, das von 2018 bis 2023 läuft, Ergebnisse veröffentlicht werden ?
Als nächstes werde ich "Forcing for Mathematicians" von Nik Weaver lesen. Vielleicht lerne ich anhand der mathematischen Anwendungen etwas, das beim Nachdenken hilft.

03.06.2024, 17:33

willyengland

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Was mich als Laie dabei immer interessiert ist, wie denn eine Menge wohl aussieht, die dazwischen liegt.
Wird daran auch geforscht?
Also ich würde mich freuen, wenn mir jemand so eine Menge beschreiben könnte, so dass ich es auch verstehe.

03.06.2024, 17:49

Elvis

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Daran wird seit 1878 geforscht. Bisher hat niemand eine solche Menge gefunden, sonst wäre das Problem gelöst. Ein Gegenbeispiel genügt, um eine falsche Aussage zu widerlegen. Wenn es eine Menge X mit |N|<|X|<|R| gibt, dann ist die Kontinuumhypothese falsch.

04.06.2024, 04:54

zweiundvierzig

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Bezüglich des Projekts müsste man Frau Prof. Antos fragen.
Eine kurze Einführung ins Forcing gibt es von T. Chow:https://arxiv.org/pdf/0712.1320
Ich hatte eine kategorientheoretische Version von Cohens Forcing im anderen Thread skizziert.

Ich habe mit der letzten Antwort meine Probleme. Cohen bekam in den 1960ern die Fields-Medaille dafür, dass er bewies, dass ZFC+CH und ZFC+~CH beide konsistent sind. Es ist also keine offene Frage, ob sich in ZFC die Kontinuumshypothese herleiten lässt: Man kann es nicht (selbiges gilt für ihre Verneinung).

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04.06.2024, 05:01

zweiundvierzig

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Der Wikipedia-Artikel ist auch gut lesbar:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)

04.06.2024, 06:20

Elvis

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In ZFC kann man CH weder beweisen noch widerlegen.

Wenn man annimmt, dass die gesamte Mathematik auf ZFC aufgebaut werden kann, dann kann man CH weder beweisen noch widerlegen. Man kann dann mit Modellen weitermachen und ein mathematisches Multiversum akzeptieren.

Wenn man annimmt, dass Mathematik mehr ist als das, was aus ZFC folgt, darf man weiterhin an das gute alte tertium non datur glauben, dann bleibt CH entweder wahr oder falsch, und gegen ein mathematisches Universum spricht auch nichts. Bedenke Gödel : Viele Aussagen, die in einer Theorie nicht beweisbar sind, sind wahr.

Danke für die Links. Bitte auch um weitere Literaturhinweise (ab 2020, ältere Sachen finde ich selbst).

04.06.2024, 11:47

willyengland

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Zitat:

Original von Elvis
In ZFC kann man CH weder beweisen noch widerlegen.

Ach so.
Ich hatte das immer so verstanden, dass je nachdem, welche Axiomatik man genau annimmt, sie entweder wahr oder falsch ist. Das ist also nicht so?

04.06.2024, 16:13

Elvis

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Wenn die Theorie, die aus den ZFC-Axiomen und der Prädikatenlogik 1. Stufe entsteht, widerspruchsfrei ist (Syntax), dann gibt es nach dem Modellexistenzsatz ein Modell M, in dem alle Aussagen genau dann wahr sind (Semantik), wenn sie formal beweisbar sind (Syntax).
Wenn es eine Menge gibt, die ein Modell M von ZFC ist, dann kann man (mit Forcing) erweiterte Modelle konstruieren, in denen entweder CH wahr ist (M1) oder nichtCH wahr ist (M2), und die beiden Modelle M1, M2 enthalten M.
Wäre CH oder nichtCH in ZFC beweisbar, dann wäre CH oder nichtCH in M wahr. Dann wäre also CH und nichtCH in M1 und M2 wahr. Widerspruch !
Also kann man in ZFC CH weder beweisen noch widerlegen.

04.06.2024, 17:37

tobit

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Hallo zusammen,

gerne möchte ich die Diskussion nutzen, um mit einer weit verbreiteten Fehlinterpretation von Cohens Ergebnissen (und anderer relativer Konsistenzbeweise) aufzuräumen.

Zweifelsfrei bewiesen ist, dass aus den ZFC-Axiomen die Implikation $\begin{eqnarray*} Con(ZFC)\implies Con(ZFC+CH) \end{eqnarray*}$ folgt (und analog mit $\begin{eqnarray*} \neg CH \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} CH \end{eqnarray*}$ ).
Das kann man wie folgt (korrekt) interpretieren: Jedes ZFC-Universum, das ZFC für konsistent hält, hält auch ZFC+CH für konsistent.

Dies macht keine Aussage über "tatsächliche" Konsistenz von ZFC+CH wenn ZFC "tatsächlich" konsistent ist, sondern nur darüber, was ZFC-Universen für konsistent halten!!!

Es ist aus meiner Sicht durchaus denkbar, dass ZFC "tatsächlich" konsistent ist, aber alle ZFC-Universen ZFC für inkonsistent halten. Dann wäre es auch denkbar, dass ZFC+CH "tatsächlich" inkonsistent ist und somit trotz der "tatsächlichen" Konsistenz von ZFC aus ZFC die Negation der Kontinuums-Hypothese folgt.

Viele Grüße
Tobias

04.06.2024, 20:10

Elvis

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Es gibt via Forcing Modelle für ZFC+CH und ZFC+nichtCH, also sind beide Theorien konsistent. Die Unterscheidung "konsistent" und "tatsächlich konsistent" verstehe ich nicht. Jedes Modell, das aus einem ZFC Modell M entsteht enthält M, erhält also auch die Konsistenz von ZFC. Forcing zeigt lediglich die Unabhängigkeit von CH bei Konsistenz der ZFC-Theorie und sonst nichts. Insbesondere macht Forcing keine Aussage über die "absolute Wahrheit", falls es so etwas gibt.

(Morgen bekomme ich Nik Weaver "Forcing for mathematicians". Da lese ich zuerst das letzte Kapitel, weil er dort seine persönliche Philosophie darstellt - natürlich ganz unverbindlich, denn am Grundrecht der Meinungsfreiheit kann und will niemand etwas ändern.)

04.06.2024, 22:40

zweiundvierzig

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Nach Gödel/Turing/Church wissen wir, dass Konsistenz in den meisten Fällen ein relativer Begriff ist.
In ZFC gilt LEM, also auch CH v ~CH. Aber es ist eine Eigenschaft einzelner ZFC-Modelle, ob CH gilt oder nicht—nicht der Theorie ZFC.

05.06.2024, 05:05

tobit

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"Es gibt via Forcing Modelle für ZFC+CH und ZFC+nichtCH"

Das gilt nur dann, wenn dein ZFC-Universum ZFC für konsistent hält.

Wenn es überhaupt ZFC-Universen "gibt", gibt es nach Gödel auch ZFC-Universen, die ZFC für inkonsistent halten. Ob es auch ZFC-Universen "gibt", die ZFC für konsistent halten, weiß ich nicht.

"Die Unterscheidung "konsistent" und "tatsächlich konsistent" verstehe ich nicht."

Zunächst mal unterscheide ich zwischen "tatsächlicher Konsistenz" und "Konsistenz innerhalb eines einzelnen ZFC-Universums", nicht zwischen "tatsächlicher Konsistenz" und "Konsistenz".

ZFC-Universen (wenn es sie denn "gibt") enthalten in unterschiedlichem Ausmaß Nichtstandard-Zahlen in der Menge $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (die irrtümlich häufig mit der "Menge" der gewöhnlichen natürlichen Zahlen identifiziert wird).
Das führt dazu, dass eine Menge, die ein ZFC-Universum für endlich hält, noch lange nicht "tatsächlich" endlich sein muss; ihre Kardinalität kann auch eine Nichtstandard-Zahl sein.
Genauso kann ein Beweis eines Widerspruchs aus ZFC innerhalb eines ZFC-Universums ein Nichtstandard-Beweis sein, also einer, der nur durch eine Nichtstandard-Zahl zustande kommt (z.B. also nicht "tatsächlich" endliche Länge hat).

Unter "tatsächlicher" Konstistenz von ZFC verstehe ich "nur", dass im "gewöhnlichen" Sinne endlichen Mitteln kein Widerspruch aus ZFC herleitbar ist. Natürlich ist auch im Falle "tatsächlicher" Konsistenz von ZFC unter Hinzunahme geeigneter Nichtstandardzahlen wohl ein Widerspruch aus ZFC herleitbar.
(Leider kann ich nicht formal definieren, was ich unter tatsächlicher Konsistenz verstehe, weil ich nicht einmal formal definieren kann, was ich unter den gewöhnlichen natürlichen Zahlen 0,1,2,3,... ohne Nichtstandardzahlen verstehe. Trotzdem gehe ich davon aus, dass die Vorstellung einer absoluten Gesamtheit natürlicher Zahlen ohne Nichtstandardzahlen und damit einhergehend die Einteilung in Standardzahlen und Nichtstandardzahlen in beliebigen ZFC-Universen Sinn ergibt.)

05.06.2024, 06:47

Elvis

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@zweiundvierzig
Ja.
@tobit
Ich habe kein eigenes ZFC-Universum. Wenn die Theorie, die aus ZFC und PL1 entsteht, widersprüchlich ist, dann hat sie kein Modell, mit dem man sinnvoll arbeiten kann, und dann ist auch Forcing nicht anwendbar. Grundvoraussetzung für die Mathematik ist immer ihre Widerspruchsfreiheit. Wenn ZFC widerspruchsfrei ist, dann ist ZFC in jedem darauf aufbauenden Forcing-Modell widerspruchsfrei.
Die Terminologie ZFC-Universen klingt für mich etwas esoterisch, und wenn du damit argumentieren möchtest, musst du erst einmal definieren, was das sei. Möglicherweise irritieren die booleschen Modelle, bei denen der Sprachgebrauch "Wahrheit in verschiedenen Welten" Sinn macht. Diese werden beim Forcing aber nur als Zwischenschritt benutzt, bevor sie zu einem Quotientenmodell und dann zu einem Standardmodell herunter gebrochen werden. Ausserdem sind auch boolesche Modelle lediglich Funktionen, also ganz gewöhnliche Mengen. Nichts geheimnisvolles, nichts esoterisches, nichts unmathematisches, keine vielen Welten und schon gar kein Multiversum (danke Hoffmann).
Bei Hoffmann habe ich gelesen, dass die natürlichen Zahlen in jedem der hier betrachteten Modelle dieselben sind, natürlich bis auf Isomorphie. Übrigens ist $\begin{eqnarray*} \omega:=\mathbb N \end{eqnarray*}$ in ZFC. Hast du da andere Informationen?

05.06.2024, 17:30

tobit

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Hi Elvis,

"Grundvoraussetzung für die Mathematik ist immer ihre Widerspruchsfreiheit."
Mir würde es genügen, wenn ZFC tatsächlich konsistent ist. Dass ZFC von manchen ZFC-Universen/-Modellen (wenn es denn solche Universen/Modelle überhaupt "gibt") für inkonsistent gehalten wird (dank der Nichtstandardzahlen), stört mich nicht. Und andere Mathematiker hindert es offenbar auch nicht an ihrer Arbeit (die ja für gewöhnlich aus gewöhnlichen Beweisen besteht und nicht aus Nichtstandardbeweisen).

"Die Terminologie ZFC-Universen klingt für mich etwas esoterisch, und wenn du damit argumentieren möchtest, musst du erst einmal definieren, was das sei."
Ich verstehe unter einem ZFC-Universum ein "Paar" bestehend aus einer "Gesamtheit" von Dingen, die als Mengen bezeichnet werden, und einer "binären Relation" $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ auf dieser Gesamtheit, die zusammen den ZFC-Axiomen (in ihrer "tatsächlichen" Form) genügt.
Darunter fällt sicherlich das, was deiner Vorstellung nach als Menge ein ZFC-Modell enthält und in dem du Forcing betreibst (die Gesamtheit deiner Mengen und ihrer $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ -Relation in deiner "Hintergrundmengenlehre"), außerdem jedes ZFC-Modell innerhalb dieses "Hintergrund-ZFC-Universums", jedes ZFC-Modell innerhalb eines ZFC-Modells innerhalb deines "Hintergrund-ZFC-Universums", usw.

"keine vielen Welten"
Dir ist aber schon klar, dass es, wenn es überhaupt ZFC-Universen/-Modelle gibt, dann auch solche mit Nichtstandardzahlen in $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (Kompaktheitssatz-Argument) bzw. die ZFC für inkonsistent halten (sonst könnte ZFC seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen im Widerspruch zu Gödel)?

"Übrigens ist $\begin{eqnarray*} \omega:=\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ in ZFC. Hast du da andere Informationen?"
Es ist dir natürlich unbenommen, in deiner Hintergrund-Mengenlehre die kleinste Limesordinalzahl $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ auch mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zu bezeichnen. Nur sollte dir dann klar sein, dass sie möglicherweise mehr Zahlen als nur 0,1,2,3,... enthält. Ich möchte hingegen unter den gewöhnlichen natürlichen Zahlen nur die Zahlen 0,1,2,3,... verstehen.

Ich habe eine Vermutung: Du (in guter Gemeinschaft mit vielen Set Theorists) glaubst einfach fest an ein Hintergrundmengenuniversum, in dem ZFC konsistent ist (was eine deutlich stärkere Annahme ist, als nur die tatsächliche Konsistenz von ZFC!). Das finde ich auch völlig in Ordnung, auch wenn ich diesen Glauben nicht teile (ohne vom Gegenteil überzeugt zu sein; ich weiß es schlichtweg nicht). Nur sollte die daraus korrekt gefolgerte Konsequenz, dass auch ZFC+CF konsistent ist, dann klar als Glaubensüberzeugung und nicht als mathematisches Faktum gekennzeichnet sein.

Viele Grüße
Tobias

05.06.2024, 19:12

Elvis

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Jede widersprüchliche Theorie ist mathematisch unbrauchbar, weil daraus alles folgt. Also muss ich ZFC und die gesamte Mathematik als widerspruchsfrei voraussetzen, wohl wissend, dass die Widerspruchsfreiheit nicht beweisbar ist.
Ich habe keine Hintergrundmengenlehre sondern weiß, dass jede Menge bijektiv zu einer Ordinalzahl ist, und das Mengenuniversum V ist die Hierarchie der $\begin{eqnarray*} V_{\alpha} \end{eqnarray*}$ . V ist kein Modell von ZFC, weil V eine echte Klasse und keine Menge ist, ein Modell ist eine Menge, in der jede Aussage wahr ist, die in ZFC beweisbar ist und umgekehrt.
Nichtstandardzahlen kenne ich in der Nichtstandardanalysis. In den natürlichen Zahlen (Dedekind/Peano) haben sie nichts verloren. Als Zahlentheoretiker gestatte ich mir, darauf kategorisch zu bestehen. Die natürlichen Zahlen sind bis auf Isomorphie festgelegt, man nimmt in der Mengenlehre gern die von Neumann.
Jedes ZFC Modell M ist in jedem Forcingmodell M[G] enthalten, also kann es kein Forcingmodell geben, in dem ZFC nicht widerspruchsfrei ist. Das ist kein Beweis für die Widerspruchsfreiheit von ZFC, denn diese wird schon in M vorausgesetzt.
Unter der Voraussetzung, dass ZFC widerspruchsfrei ist, hat es ein Modell M. Dann ist jedes Forcingmodell das Modell einer widerspruchsfreien Theorie, also ZFC+CH widerspruchsfrei, wenn das Forcingmodell M und CH enthält. In genau der gleichen Weise ist ZFC+nichtCH widerspruchsfrei. Die beiden Forcingmodelle respektieren M und damit ZFC, nur über CH werden sie sich nicht einig, das ist der Sinn und Zweck eines Unabhängigkeitsbeweises.
Nachtrag. Vielleicht sollte ich konsistent bei formalen Theorien und widerspruchsfrei bei Modellen sagen? Weil das äquivalent ist, werde ich meine Texte aber lieber nicht ändern.

06.06.2024, 04:20

tobit

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"Also muss ich ZFC und die gesamte Mathematik als widerspruchsfrei voraussetzen"
Soweit könnte ich deine Position nachvollziehen (unabhängig davon, ob ich sie teile). Allerdings habe ich den Eindruck, dass du mehr als nur die tatsächliche Widerspruchsfreiheit von ZFC voraussetzt. Anscheinend setzt du mindestens mal die Widerspruchsfreiheit von ZFC+Con(ZFC) (was deutlich stärker als ZFC ist!) voraus, wenn du an ein Mengenuniversum V glaubst, in dem ZFC konsistent sei.

"Ich habe keine Hintergrundmengenlehre sondern weiß, dass jede Menge bijektiv zu einer Ordinalzahl ist, und das Mengenuniversum V ist die Hierarchie der V±."
Selbstverständlich verwendest du eine Hintergrundmengenlehre. Anscheinend ist dir das nur noch nicht bewusst.
Wie kannst du Begriffe wie Menge, Ordinalzahl, Mengenuniversum verwenden ohne Hintergrundmengenlehre? Das sind doch alles Begriffe aus der ZFC-Welt?! Oder verwendest du sie in einer anderen Bedeutung? Wenn ja: Welcher?

"ein Modell ist eine Menge, in der jede Aussage wahr ist, die in ZFC beweisbar ist und umgekehrt."
Das "und umgekehrt" möchte ich doch arg bezweifeln: Glaubst du wirklich, dass es ein ZFC-Modell gibt, in dem nur Aussagen wahr sind, die in ZFC beweisbar sind? In diesem Modell gilt sicherlich eine der beiden Aussagen $\begin{eqnarray*} CH \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg CH \end{eqnarray*}$ . Glaubst du also, dass eine dieser beiden Aussagen in ZFC beweisbar sei?

"Nichtstandardzahlen kenne ich in der Nichtstandardanalysis."
Mit Nichtstandardanalysis kenne ich mich leider nicht aus.

"In den natürlichen Zahlen (Dedekind/Peano) haben sie nichts verloren."
Du musst wohl oder übel akzeptieren, dass folgendes beweisbar (mit einem Kompaktheitssatz-Argument) gilt: Wenn es ein ZFC-Modell gibt, dann gibt es auch ein ZFC-Modell mit Nichtstandardzahlen in seinem $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ (formal: ein ZFC-Modell, das kein sogenanntes $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ -Modell ist).

Ich meine hier einen weiteren Glaubenssatz bei dir herauszulesen, mit dem du ebenfalls in guter Gesellschaft zu vielen Set Theorists sein dürftest: "Es gibt ein Mengenuniversum ohne Nichtstandardzahlen in $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ .". Unter Annahme dieses Glaubenssatzes, fallen tatsächliche Konsistenz und Konsistenz in diesem Mengenuniversum zusammen und es folgt, dass tatsächliche Konsistenz von ZFC bereits tatsächliche Konsistenz von ZFC+CH impliziert.
Nur ist dieser Glaubenssatz um Welten stärker als etwa nur der Glaube an die Konsistenz von ZFC.

"Die natürlichen Zahlen sind bis auf Isomorphie festgelegt"
Das stimmt in jedem einzelnen ZFC-Universum/-Modell. Betrachten wir aber mehrere ZFC-Universen/-Modelle, so sind deren natürliche Zahlen (d.h. deren kleinste Limesordinalzahlen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ) wohl i.A. nicht isomorph zueinander.

"Unter der Voraussetzung, dass ZFC widerspruchsfrei ist, hat es ein Modell M"
Unter der Voraussetzung, dass ZFC nicht nur tatsächlich widerspruchsfrei ist, sondern auch in deiner Hintergrundmengenlehre, ja. Dann ist der Rest (tatsächliche Unabhängigkeit von CH von ZFC) geschenkt. Mir geht es im Kern nur darum, dass eben tatsächliche Konsistenz nicht in offensichtlicher Weise Konsistenz in irgendeinem Mengenuniversum impliziert.

06.06.2024, 06:38

Elvis

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Das Spiel mit Worten bringt uns nicht weiter.
Ich hätte mich nicht dazu verleiten lassen, in meinem überflüssigen Nachtrag das Wort konsistent zu verwenden. (Bei Nik Weaver ist engl. "consistent" gleich dt. "widerspruchsfrei", also mein Nachtrag überflüssig aber nicht falsch.) Dass ZFC nach Gödel unvollständig ist, weiß ich auch.
Dirk W. Hoffmann sagt in der Einleitung zu seinem Buch "Forcing", dass er ein umfangreiches Lehrbuch geschrieben hat, weil man dem Gegenstand mit Worten nicht gerecht werden kann.
Wir sollten (und ich werde hiermit) unsere Diskussion beenden. Wenn du oder jemand anderes noch etwas dazu sagen möchte, dann bitte
a) Hinweise zu Fehlern oder Ungenauigkeiten bei Hoffmann (ich konnte bisher keine finden)
b) Anmerkungen zur philosophischen Interpretation von Forcing (siehe meine Eingangsfrage).

06.06.2024, 18:35

tobit

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"Das Spiel mit Worten bringt uns nicht weiter."
Erstaunt1

Erstaunt1

Ich habe hier eine inhaltliche Diskussion über die Interpretation der relativen Konsistenzergebnisse wahrgenommen. Inwiefern das ein "Spiel mit Worten" sein soll, erschließt sich mir nicht.

Aber selbstverständlich musst du dich hier im Matheforum mit niemandem austauschen, mit dem du dich nicht austauschen möchtest, also von meiner Seite alles gut. Prost

Prost

Ich verzichte daher auf weitere Anmerkungen zur Frage b).

Zu deinem Punkt a) (der ein völlig neues Thema darstellt):

Ich besitze von Dirk W. Hoffmann das Buch "Grenzen der Mathematik" in der 3. Auflage. Obwohl es mich thematisch sehr interessiert, habe ich es nach kurzer Zeit wieder beiseitegelegt, weil dieses Buch auf mich eher wie ein nicht korrekturgelesener grober Entwurf wirkt. Die Anzahl der Ungenauigkeiten/Ungereimtheiten/Unklarheiten u.ä. empfand ich als so hoch, dass ich es als zu mühsam und zeitaufwändig wahrgenommen habe, mir Korrekturen für all diese Dinge zu überlegen. Zumal ich mangels Vertrauen in die Korrektheit wirklich alles hätte haarklein mühsam nachprüfen müssen, was aufgrund der Grobheit der Argumentationen Hoffmanns sehr viel Zeit in Anspruch genommen hätte.

Ein Beispiel für völligen Irrtum (zumindest in Form eines voreiligen unbegründeten Schlusses, vermutlich aber mit einem völlig falschen Ergebnis) Hoffmanns findet sich frei im Internet z.B. in https://www.dirkwhoffmann.de/GM/webcode.html?webcode=3212.
Betrachten wir etwa das ZF-Theorem $\begin{eqnarray*} \forall x\forall y\forall w ((x=y\wedge x\in w)\implies y\in w) \end{eqnarray*}$ . Es erscheint mir wenig glaubwürdig und schon gar nicht durch Hoffmann begründet, dass dieses ZF-Theorem herleitbar bleibt, wenn das Gleichheitszeichen nicht mehr für die Gleichheitsrelation steht, sondern durch $\begin{eqnarray*} x=y :\iff \forall z(z\in x\iff z\in y) \end{eqnarray*}$ definiert wird.
Ich habe ihn vor längerer Zeit mal per Mail freundlich auf dieses Problem hingewiesen. Ich habe keine Antwort erhalten; da habe ich natürlich auch keinen Anspruch drauf. Allerdings hätte ich von einem glaubwürdigen Buchautor schon eine Korrektur seiner Darstellung erwartet, die bis heute nicht stattgefunden hat.

Ich warne also davor, Hoffmann blind zu vertrauen. Wenn man sich aber die Zeit nimmt, nichts für bare Münze zu nehmen und alles gründlich selbst zu hinterfragen und zu prüfen, und nicht auf die Fehler Hoffmanns hereinfällt, kann man sicherlich aus Hoffmanns Büchern viel lernen.

06.06.2024, 22:10

zweiundvierzig

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ZF ist eine $\begin{eqnarray*} \mathrm{FO}(\{\in,=\}) \end{eqnarray*}$ -Theorie mit zwei binären Relationen $\begin{eqnarray*} =, \in \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ per Annahme reflexiv, symmetrisch, transitiv und eine Kongruenz bezüglich $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall x_0,x_1,y_0,y_1.x_0=x_1\land y_0=y_1\land x_0 \in y_0 \rightarrow x_1 \in y_1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \forall x,y.\varphi(x) \land x =y \to \varphi(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \mathrm{FO}(\{\in,=\}) \end{eqnarray*}$ -Formeln $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

07.06.2024, 04:55

tobit

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Wir haben jetzt drei Varianten von ZF:

1. Die mir bis dato bekannte (siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre): "Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ."

2. Die von Hoffmann in der Aufgabe skizzierte Variante in der Prädikatenlogik der ersten Stufe ohne Identität mit Definition des Gleichheitssymbols wie von ihm geschildert.

3. Die von zweiundvierzig skizzierte Variante, die 2. entspricht mit dem Unterschied, dass zusätzlich Kongruenz bezüglich $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wird (was bei Hoffmann in der Aufgabe nirgendwo steht).

Mir erscheint es sehr plausibel, dass 1. und 3. zu den gleichen aus den ZF-Axiomen ableitbaren Theoremen führen. Das müsste man allerdings beweisen.
Es erscheint mir sehr abwegig, dass 2. auch zu den gleichen aus den ZF-Axiomen ableitbaren Theoremen führt wie 1. und 3.. Schon gar nicht ist das ohne nennenswerten Beweis klar.

Insofern ändert die von zweiundvierzig ins Spiel gebrachte weitere Variante nichts an meiner Kritik an Hoffmanns Fehlschluss.

07.06.2024, 05:06

tobit

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Ich sehe gerade, dass mein vorheriger Link auf die Aufgabe von Hoffmann nicht funktioniert. Daher nochmal neu: https://www.dirkwhoffmann.de/GM/webcode.html?webcode=3212

07.06.2024, 06:03

zweiundvierzig

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Ich denke, es ist nicht so sehr die Frage, ob man Gleichheit dazu nimmt oder nicht, denn in FO kann man Gleichheit durch eine Äquivalenz- und Kongruenzrelation (bezüglich der übrigen Relations- und Funktionssymbole) simulieren und erhält eine erfüllbarkeitsäquivalente Theorie.

Konkret für ZF bedeutet und tobits Problem bedeutet das eine stärkere Version des Extensionalitätsaxioms, siehe hier.

07.06.2024, 07:32

Elvis

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Definition der Gleichheit geht auf Leibniz zurück und wird genau so in der Prädikatenlogik benutzt, dass man gleiche Objekte in jeder Formel gegenseitig ersetzen kann. Damit bekommt man (1) und (2)

(1) $\begin{eqnarray*} \forall x\forall y(x=y\rightarrow(\forall w(x\in w\leftrightarrow y\in w))) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \forall x\forall y(x=y\rightarrow(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))) \end{eqnarray*}$

In ZFC gilt das Extensionalitätsaxiom

(3) $\begin{eqnarray*} \forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y) \end{eqnarray*}$

Aus (2) und (3) folgt wegen $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow := \leftarrow \wedge \rightarrow \end{eqnarray*}$
die für Schüler übliche "Defintion", die in ZFC alo ein Theorem ist

(4) $\begin{eqnarray*} \forall x\forall y(x=y\leftrightarrow(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))) \end{eqnarray*}$

Die Formeln (1) und (2) hätte ich statt mit $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ auch mit $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ schreiben können, aber das hätte dann etwas mehr Denkarbeit erfordert, um daraus die Symmetrie zu erschließen. Wie man von (4) auf (1) kommen soll, weiß ich nicht. Ich weiß auch nicht, wie man auf die Idee kommen kann, dass man in einer ZFC-Theorie ohne Logik arbeitet.

Nachtrag: Doch, ich weiß, wie man auf diese Idee kommen kann. In vielen mehr oder weniger guten Büchern werden die ZFC-Axiome nur besprochen und allenfalls in Worten dargestellt. Kaum ein Buch über Mengenlehre macht sich und den Lesern die Mühe, die Prädikatenlogik zu formalisieren. Sie wird stumpf vorausgesetzt und benutzt, und so kann man natürlich Mathematik machen aber nicht Mengenlehre verstehen.

Nachtrag: Klar ist auch, dass es viele Möglichkeiten gibt, Axiome und Regeln und Definitionen ein wenig zu verändern ohne dass man die Theorie verändert. In jedem guten Buch wird alles sauber festgelegt, und danach muss man sich an die Spielregeln halten. Das geht meistens gut, wenn man eine formale Sprache an den Anfang stellt, Axiome nur in Worten festzulegen, führt leicht zur Verwirrung. Noch mehr Verwirrung entsteht dadurch, dass es kaum zwei Bücher gibt, in denen alles identisch formuliert wird. Nik Weaver zum Beispiel legt die Bedeutung des Gleichheitszeichens in der ZFC-Mengenlehre fest, indem er (1) und (2) als Axiome setzt. So ist das Leben eben auch in der Mathematik, man muss immer höllisch aufpassen, und deshalb habe ich auch gesagt, dass uns das "Spiel mit Worten" nicht weiter bringt. War gar nicht böse gemeint, ich wollte damit nur klar zum Ausdruck bringen, dass wir uns nur einig werden können, wenn wir die Regeln formalisieren.

23.06.2024, 07:46

Elvis

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Mittlerweile habe ich einige wenige aktuelle Papers zum Thema "Philosophy of Set-Theory" gelesen (alle auf englisch, weil kaum ein Mensch mehr auf deutsch publiziert) und auf YouTube Vorträge der mir bisher unbekannten Mengentheoretiker zu Gemüte geführt. Anscheinend hat jeder eine andere Meinung, was in der Philosophie auch nicht anders zu erwarten war, und im richtigen mathematischen Leben macht jeder sein Ding und lässt sich nicht durch Fragen nach dem An-Sich ablenken.
Das Projekt von Prof. Carolin Antos et al. scheint Früchte zu tragen, denn es ist für November 2024 ein Buch angekündigt: https://philpapers.org/rec/ANTTPC-4

03.06.2025, 02:53

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
In ZFC kann man CH weder beweisen noch widerlegen.

Wenn man annimmt, dass die gesamte Mathematik auf ZFC aufgebaut werden kann, dann kann man CH weder beweisen noch widerlegen. Man kann dann mit Modellen weitermachen und ein mathematisches Multiversum akzeptieren.

Wenn man annimmt, dass Mathematik mehr ist als das, was aus ZFC folgt, darf man weiterhin an das gute alte tertium non datur glauben, dann bleibt CH entweder wahr oder falsch,.

Ob ZFC die gesamte Mathematik beschreibt oder nicht, CH ist wahr oder falsch. Gott könnte es uns sagen. Aber wir haben nur unsere Beweise als Wahrheitsindikator. Und wenn es keine Beweise dafür und dagegen gibt, dann wissen wir es nur nicht, aber es bleibt dabei, dass CH wahr oder falsch ist. Das ist genau dieselbe Lage, wie in der Astronomie, was hinter dem Ereignishorizontes eines Schwarzen Loches ist; da ist was, aber wir haben keine Info und können deshalb dazu nichts sagen.

03.06.2025, 07:27

Elvis

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Wer bist du, Mensch, dass du den nicht existierenden Gott in seiner Allmacht einschränken möchtest? Selbstverständlich kann er unendlich viele Welten bauen, in denen CH wahr ist und unendlich viele Welten, in denen CH falsch ist, und unendlich viele andere Welten.

Genau das hat er getan. Forcing beweist, dass es Welten gibt, in denen CH wahr ist und Welten, in denen CH falsch ist. Mehrwertige Logiken beweisen, dass es Welten gibt, in denen CH mehr oder weniger wahr ist.

Beweise werden in formalen Systemen geführt und sagen nichts über die Wahrheit aus. Das eine gehört zur Syntax, das andere zur Semantik.

Andreas Müller und andere Astrophysiker wissen sehr viel über das Innere von schwarzen Löchern. Siehe "Urknall, Weltall und das Leben ".

04.06.2025, 00:53

Pippen

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Das widerspricht nicht dem, was ich sage. Klar, je nach Welt/Modell kann CH wahr oder falsch sein. Ich meine, dass CH in der „ZFC-Welt“ wahr oder falsch ist, aber wir können nicht wissen/beweisen, welches von beiden. Da stimmst du zu, oder?

04.06.2025, 06:47

Elvis

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Dem habe ich deutlich widersprochen. ZFC ist ein formales System. Darin werden Beweise geführt, die nichts über Wahrheit sagen. ZFC ist Syntax, keine Semantik.
Es gibt viele ZFC-Welten, das heißt Modelle von ZFC, falls ZFC widerspruchsfrei ist. In ZFC kann man CH als Formel schreiben, aber man kann CH nicht in ZFC beweisen oder widerlegen.
In ZFC+(V=L) ist sogar die verallgemeinerte Kontinuumshypothese GCH beweisbar, also in allen Welten (Modellen) wahr (Kurt Gödel 1935). Mit Forcing kann man Modelle X konstruieren, in denen CH wahr ist und Modelle Y, in denen CH falsch ist (Paul Cohen 1963). Sowohl X als auch Y sind Modelle für ZFC, also alle in ZFC beweisbaren Sätze wahre Aussagen.
Wenn du Mut genug hast, studiere Oliver Deiser "Axiomatische Mengenlehre ". Dann kommst du (vielleicht zum ersten Mal) mit richtiger Mathematik in Berührung, und du musst viel mehr selbstständig arbeiten und kritischer denken als bisher.

05.06.2025, 00:21

Pippen

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Da hast du recht, ZFC ist gar keine Welt, sondern nur Normen, die verschiedene Welten modellieren können. Je nach Welt ist CH wahr oder falsch. Man sieht daran, wie relativ Wahrheit ist, nämlich immer auf das jeweilige Modell bezogen. DIE Wahrheit gibt es in der Mathematik (und auch sonst) nur in den log. Wahrheiten/Falschheiten, die sich nicht um die gegebene Welt kümmern müssen.

05.06.2025, 07:42

Elvis

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CH ist wahr oder falsch in verschiedenen Modellen von ZFC. Also ist CH nicht beweisbar und nicht widerlegbar in ZFC, d.h. CH ist unabhängig von ZFC.
Daraus kann man nicht schließen, dass Wahrheit relativ und nur auf Modelle bezogen ist. Jeder in ZFC beweisbare Satz ergibt in jedem Modell von ZFC eine wahre Aussage. Jeder in ZFC widerlegbare Satz ergibt in jedem Modell von ZFC eine falsche Aussage. Das gilt genau so für jedes andere formale System.
Ein formales System modelliert keine Welt. Zu einem formalen System S und einer Interpretation I:S->U des formalen Systems gehört ein Modell U, in dem jeder Satz von S eine wahre Aussage von U ist.
Dass absolute Wahrheit in der Mathematik und in einer gegebenen Welt oder in einer Realität durch Logik begründet wird ist auch nicht richtig. Ludwig Wittgenstein sagt in seinem "Tractatus logico-philosophicus"
"1. Die Welt ist alles, was der Fall ist.
1.1 Die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge."
Logik schafft keine Tatsachen oder wahre Aussagen. Logik enthält Relationen zwischen wahren und falschen Aussagen, z.B. logische Funktionen und logische Schlussfolgerungen.

06.06.2025, 00:31

Pippen

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Das sehe ich anders.

1. Wahrheit ist relativ zu einem Modell. So wird Wahrheit sogar math. definiert, nämlich immer mit Bezug auf ein Modell.

2. Wenn du meinst, dass eine in ZFC beweisbare Aussage in allen Modellen wahr ist, dann heißt das, es ist eine Tautologie im System ZFC + PL1.

3. Logik begründet (für uns Menschen) absolute Wahrheiten und Falschheiten, indem Sätzen Wahrheitswerte zugewiesen werden und es solche gibt, die daraufhin immer wahr oder falsch sind, egal welche Zuweisung erfolgt. Man kann das natürlich in einer Metatheorie kritisieren, aber dann braucht man dafür wiederum übergeordnete Wahrheitszuweisungen; das wären dann nur andere absolute Wahrheiten. Mit „Tatsachen“ kann ich wenig anfangen, denn entweder ist eine Tatsache nichts anderes als ein wahrer Satz oder es ist ein obskures Objekt. Wittgenstein kann von Tatsachen gar nicht oder nur in Satzform reden, er glaubt sich dann ganz am Ende durch eine Metapher wegstehlen zu können, aber ob ihm das gelingt?

06.06.2025, 07:39

Elvis

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1. Wie definiert man "Wahrheit relativ zu einem Modell", wenn nicht als "Tatsache" oder "wahre Aussage über ein Modell" ? Was macht man in der Mathematik, wenn man kein formales System hat, zu dem Modelle existieren können ? Was macht man in der Mathematik, wenn man nicht weiß, ob ein formales System ein Modell hat ?
2. ZFC+PL1=ZFC , denn ZFC ist ein PL1-System. In einem formalen System werden keine Aussagen bewiesen sondern Sätze, das sind aus den Axiomen ableitbare Formeln. Modelle sind per Definition Mengen, in denen die zu Sätzen durch Interpretation gehörenden Aussagen wahr sind. Das hat mit Tautologien überhaupt nichts zu tun. Beispiel $\begin{eqnarray*} 1+1=2\wedge 2\ne 0\, in\, \mathbb N, 1+1=0\wedge 2=0\, in \,\mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ .
3. Dein Verständnis von Logik ist allenfalls rudimentär und hochgradig eingeschränkt. Du solltest versuchen, sehr viel mehr davon zu verstehen, statt immer wieder Unsinn zu produzieren.

Wittgenstein musst du nicht verstehen und begreifen, das fällt wenigen Menschen leicht, aber ohne Verständnis kannst du ihn auch nicht kritisieren. Obwohl es vermutlich nicht in jedem Einzelfall pädagogisch wertvoll ist, die Prügelstrafe wieder einzuführen, habe ich ein gewisses Verständnis dafür, dass Wittgenstein die tumben Bauerntölpel verprügelt hat, die ihn nicht verstehen wollten. Als er dann vor deren tumben Vätern fliehen musste, die ihn verprügeln wollten, wurde er von Russell und Whitehead mit seinem Tractatus promoviert. Während der Prüfung hat er seine Prüfer aufs übelste beschimpft und ihnen klar gemacht, dass sie nichts davon verstanden, was er gesagt hatte.
"Worüber man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen." wurde von einem der Prüfer kommentiert, der sinngemäß sagte: "Worüber man nicht sprechen kann, das ist auch nicht wichtig." Daraufhin bekam der Choleriker einen kleinen Tobsuchtsanfall und rief: "Nein, nein, nein... Ihr versteht überhaupt nichts. Gerade das, worüber man nicht sprechen kann, ist das wichtigste in der Welt!".

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