Unterring reellwertiger Funktionen

03.06.2024, 15:09

KonverDiv

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Unterring reellwertiger Funktionen

Hallo

smile

,

Wenn $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der Ring der reell wertigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unter punktweisen Operationen ist, wobei $\begin{eqnarray*} S := \left\{ f \in R \, | \, f(3) = f(4) \right\} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dann ein Unterring?

Abgeschlossenheit bezüglich der Operation "+" ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} f,g \in S \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (f+g)(3) = f(3) + g(3) = f(4) + g(4) = (f+g)(4) \in S \end{eqnarray*}$ .

Neutrales Element bezüglich der Operation "+", wir zeigen hierzu, dass $\begin{eqnarray*} f \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f' \in S \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f + f' = f' + f = f \end{eqnarray*}$ ist. Setzen wir $\begin{eqnarray*} f'= f(3) - f(4) \end{eqnarray*}$ als neutrales Element, dann haben wir $\begin{eqnarray*} f(3) = f(3) + f(3) - f(4) = f(3) + f(4) - f(4) = f(3) \in S \end{eqnarray*}$ .

Darf man das hier mit dem Neutralen Element überhaupt so angehen? verwirrt

verwirrt

Danke!

03.06.2024, 15:54

IfindU

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Das neutrale Element darf nicht von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abhängen. Wenn du genau hinguckst, ist dein $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ aber eigentlich unabhängig von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist nämlich das "offensichtliche" neutrale Element der Funktionen. Und die Funktion muss natürlich unverändert bleiben durch die Addition, nicht nur an der Stelle 3.

03.06.2024, 15:58

KonverDiv

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Hallo @IfindU Wink

Wink

Zitat:

Original von IfindU
Wenn du genau hinguckst, ist dein $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ aber eigentlich unabhängig von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du meinst wegen $\begin{eqnarray*} f' := f(3) -f(4) = 0_S \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2024, 16:03

IfindU

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Genau. Und "offensichtlich" erfüllt die Nullfunktion die Eigenschaft eines neutralen Elements. Bleibt "nachzuprüfen", dass es auch in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist.

03.06.2024, 16:05

KonverDiv

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Danke! Freude

Freude

Zitat:

Original von IfindU
die Nullfunktion

Damit meinst du $\begin{eqnarray*} 0:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \mapsto 0_S \end{eqnarray*}$ , oder?

03.06.2024, 16:08

IfindU

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Nur damit wir von gleichen reden.

Ich meine $\begin{eqnarray*} f' : \mathbb R \to \mathbb R, f'(x) = 0_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ . Und es ist $\begin{eqnarray*} 0_S := f' \end{eqnarray*}$ das (additiv) neutrale Elemente in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

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03.06.2024, 16:10

KonverDiv

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen

Zitat:

Original von IfindU
Nur damit wir von gleichen reden.

Ich meine $\begin{eqnarray*} f' : \mathbb R \to \mathbb R, f'(x) = 0_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ . Und es ist $\begin{eqnarray*} 0_S := f' \end{eqnarray*}$ das (additiv) neutrale Elemente in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ .

Ja, genau. Ich hatte einen Fehler in meiner Abbildungsdefinition.

03.06.2024, 16:12

IfindU

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Es muss bei dir $\begin{eqnarray*} 0_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ heißen statt $\begin{eqnarray*} 0_{S} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} 0_S \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Funktion und kein reeller Wert.

03.06.2024, 16:15

KonverDiv

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RE: Unterring reellwertiger Funktionen

Zitat:

Original von IfindU
Es muss bei dir $\begin{eqnarray*} 0_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ heißen statt $\begin{eqnarray*} 0_{S} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} 0_S \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Funktion und kein reeller Wert.

Ja, das ist richtig! Danke!

Wie führt man den Nachweis, dass die Nullfunktion in der Menge S enhalten ist? Also sie könnte ja enthalten sein, weil die Menge, ja nur erfordert, dass $\begin{eqnarray*} f(3) = f(4) \end{eqnarray*}$ ist.

03.06.2024, 16:18

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 0(3)=0(4)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 0\in S \end{eqnarray*}$

03.06.2024, 16:29

KonverDiv

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} 0(3)=0(4)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 0\in S \end{eqnarray*}$

Danke @Elvis! Freude

Freude

04.06.2024, 09:49

KonverDiv

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Wie steht es um das additive Inverse Element? Wir suchen $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f + f' = f' + f = 0 \end{eqnarray*}$ und definieren $\begin{eqnarray*} f' : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(x) := -f(x) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} (f+f')(4) = f(4) + f'(4) = f(4) - f(4) = 0_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ und außerdem $\begin{eqnarray*} (f' + f)(4) = f'(4) + f(4) = -f(4) +f(4) = 0_{\mathbb{R}} \end{eqnarray*}$ . Geht das? verwirrt

verwirrt

04.06.2024, 10:53

Elvis

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Nicht so gut. Du musst zwei Dinge zeigen: 1. $\begin{eqnarray*} -f\in S \end{eqnarray*}$ (betrachte dafür -f an den Stellen 3 und 4) 2. $\begin{eqnarray*} f+(-f)=0 \end{eqnarray*}$ (das zweite muss für alle reellen x gelten)

04.06.2024, 10:59

KonverDiv

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So ich habe mir das nochmal angesehen, und würde nun folgendes in der Zusammenfassung darstellen:

Sei $\begin{eqnarray*} S := \left\{f \in R \, | \, f(3) = f(4)\right\} \end{eqnarray*}$ , die Frage: Ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein Unterring von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der Ring der reell wertigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich gehe der Reihenfolge durch die Subringaxiome.

Nicht Leer: Wir zeigen $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \in S \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} S \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(3) = f(4) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f'(3) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(4) = 0 \end{eqnarray*}$ , damit also $\begin{eqnarray*} f'(3) = f(4) = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f'(x) \in S \end{eqnarray*}$ .

Abgeschlossen unter der Addition: Seien $\begin{eqnarray*} f,g \in S \end{eqnarray*}$ , wir zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} f+g \in S \end{eqnarray*}$ ist. Beachte $\begin{eqnarray*} (f+g)(3) = f(3) + g(3) = f(4) + g(4) = (f+g)(4) \end{eqnarray*}$ , also folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} f+g \in S \end{eqnarray*}$ .

Neutrales Element: Wir zeigen, dass es ein Element $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ gibt sodass $\begin{eqnarray*} f+f' = f' + f = f \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f' := f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ die Nullfunktion, dann haben wir $\begin{eqnarray*} (f+f')(3) = f(3) + f'(3) = f(3) + 0 = f(3) \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite ist $\begin{eqnarray*} (f' + f)(3) = f'(3) + f(3) = 0 + f(3) \end{eqnarray*}$ .

Additives Inverses Element: Wir zeigen $\begin{eqnarray*} f + (-f) = 0 \end{eqnarray*}$ . Wir zeigen (i) $\begin{eqnarray*} -f \in S \end{eqnarray*}$ und (ii) $\begin{eqnarray*} f+(-f) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Für (i) Sei $\begin{eqnarray*} f \in S \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f(3) = f(4) \end{eqnarray*}$ . Wir wollen zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ diese Bedingung erfüllt, d.h. $\begin{eqnarray*} (-f)(3) = (-f)(4) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (-f)(x) = -f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , erhalten wir $\begin{eqnarray*} (-f)(3) = -f(3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-f)(4) = -f(4) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f(3) = f(4) \end{eqnarray*}$ , folgt $\begin{eqnarray*} -f(3) = -f(4) \end{eqnarray*}$ , was bedeutet, dass auch $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(3) = f(4) \end{eqnarray*}$ erfüllt. Daher ist $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f \in S \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthalten.

Für (ii). Beachte $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ , als Definition der Addition von Funktionen. Wir definieren $\begin{eqnarray*} -f := -f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} (f+(-f))(x) = f(x) + (-f)(x) = f(x) -f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} f + (-f) \in S \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} f \in S \end{eqnarray*}$ .

Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation: Sei $\begin{eqnarray*} f,g \in S \end{eqnarray*}$ wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f\cdot g \in S \end{eqnarray*}$ . Beachte $\begin{eqnarray*} (f\cdot g)(3) = f(3)g(3) = f(4)g(4) = (fg)(4) \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} fg \in S \end{eqnarray*}$ .

Multiplikative Identität: Wir zeigen, dass es ein Element $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ gibt sodass $\begin{eqnarray*} f \cdot f' = f' \cdot f = f \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f' := f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ . Wir zeigen (i) $\begin{eqnarray*} f' = f(x) = 1 \in S \end{eqnarray*}$ . Beachte $\begin{eqnarray*} f'(3) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(4) = 1 \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} f'(3) = f'(4) = 1 \end{eqnarray*}$ und die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(3) = f(4) \end{eqnarray*}$ der Funktionen in der Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist erfüllt. Damit haben wir unser Element $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f \cdot f' = f' \cdot f = f \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Geht das so? verwirrt

verwirrt

05.06.2024, 09:37

IfindU

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Das meiste ist richtig (mit teilweise ungenaue Notation). Aber das hier reicht nicht

Zitat:

Original von KonverDiv

Neutrales Element: Wir zeigen, dass es ein Element $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ gibt sodass $\begin{eqnarray*} f+f' = f' + f = f \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f' := f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ die Nullfunktion, dann haben wir $\begin{eqnarray*} (f+f')(3) = f(3) + f'(3) = f(3) + 0 = f(3) \end{eqnarray*}$ auf der anderen Seite ist $\begin{eqnarray*} (f' + f)(3) = f'(3) + f(3) = 0 + f(3) \end{eqnarray*}$ .

Geht das so? verwirrt

verwirrt

Auch hier musst zwei Punkte zeigen: $\begin{eqnarray*} f' \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f+ f' =f \end{eqnarray*}$ überall, nicht nur in $\begin{eqnarray*} 3,4 \end{eqnarray*}$ . Wenn nur das gefordert wäre, so wäre das neutrale Element auch nicht eindeutig: $\begin{eqnarray*} f'(x) = (x-3)(x-4) \end{eqnarray*}$ würde additiv genauso neutral agieren (sofern man nur auf 3,4 als Stellen guckt).

05.06.2024, 12:41

KonverDiv

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Hallo @IfindU, danke für dein Feedback! Freude

Freude

Zitat:

Original von IfindU
Auch hier musst zwei Punkte zeigen: $\begin{eqnarray*} f' \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f+ f' =f \end{eqnarray*}$ überall, nicht nur in $\begin{eqnarray*} 3,4 \end{eqnarray*}$ .

Habe ich den ersten Punkt $\begin{eqnarray*} f' \in S \end{eqnarray*}$ nicht schon innerhalb meines ersten Punktes "Nicht Leer" gezeigt?
Zu deinem zweiten Punkt ist das nicht, sei $\begin{eqnarray*} f \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f' := f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} (f + f')(x) = f(x) + f'(x) = f(x) + 0 = f(x) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Falls du weitere Anregungen hast würde ich mich freuen!

05.06.2024, 14:05

IfindU

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Sieht gut aus. Dass $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist, hast du gezeigt, aber das darfst du hier gerne noch einmal erwähnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.06.2024, 14:11

KonverDiv

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Super, dann danke für deine Hilfe!

06.06.2024, 12:48

KonverDiv

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Thematisch passt das hier auch noch dazu:

Angenommen wir betrachten jetzt $\begin{eqnarray*} S' := \left\{f \in R \, | \, f(1) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} S' \end{eqnarray*}$ in diesem Fall ein Unterring von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , dem Ring der reell wertigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unter punktweisen Operationen?

Ich würde sagen, dass $\begin{eqnarray*} S' \end{eqnarray*}$ in diesem Fall kein Unterring sein kann, weil das neutrale Element bezüglich der Multiplikation fehlt. Wir hätten gern $\begin{eqnarray*} f\cdot f' = f' \cdot f = f \end{eqnarray*}$ , definieren wir $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} f' := 1(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann ist aber $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} S' \end{eqnarray*}$ . Ich habe auch bisher keine andere Funktion gefunden, die diese Aufgabe übernehmen könnte. verwirrt

verwirrt

Was meint ihr? smile

smile

06.06.2024, 14:45

URL

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Warum definiert du nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ für x=1 und 1 sonst?

Edit: kann man hier die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:R\to\mathbb R, \varphi (f)=f(1) \end{eqnarray*}$ betrachten? Deren Kern ist S und damit S ein Ideal

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