Unterring reellwertiger Funktionen

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Unterring reellwertiger Funktionen
Hallo smile ,

Wenn der Ring der reell wertigen Funktionen auf unter punktweisen Operationen ist, wobei eine Teilmenge von ist, ist dann ein Unterring?

Abgeschlossenheit bezüglich der Operation "+" ist gegeben durch , dann ist .

Neutrales Element bezüglich der Operation "+", wir zeigen hierzu, dass und , sodass ist. Setzen wir als neutrales Element, dann haben wir .

Darf man das hier mit dem Neutralen Element überhaupt so angehen? verwirrt Danke!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Das neutrale Element darf nicht von abhängen. Wenn du genau hinguckst, ist dein aber eigentlich unabhängig von Augenzwinkern

Es ist nämlich das "offensichtliche" neutrale Element der Funktionen. Und die Funktion muss natürlich unverändert bleiben durch die Addition, nicht nur an der Stelle 3.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Hallo @IfindU Wink

Zitat:
Original von IfindU
Wenn du genau hinguckst, ist dein aber eigentlich unabhängig von Augenzwinkern

Du meinst wegen ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Genau. Und "offensichtlich" erfüllt die Nullfunktion die Eigenschaft eines neutralen Elements. Bleibt "nachzuprüfen", dass es auch in ist.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Danke! Freude

Zitat:
Original von IfindU
die Nullfunktion

Damit meinst du mit , oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Nur damit wir von gleichen reden.

Ich meine . Und es ist das (additiv) neutrale Elemente in .
 
 
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Zitat:
Original von IfindU
Nur damit wir von gleichen reden.

Ich meine . Und es ist das (additiv) neutrale Elemente in .

Ja, genau. Ich hatte einen Fehler in meiner Abbildungsdefinition.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Es muss bei dir heißen statt . ist eine reelle Funktion und kein reeller Wert.
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterring reellwertiger Funktionen
Zitat:
Original von IfindU
Es muss bei dir heißen statt . ist eine reelle Funktion und kein reeller Wert.

Ja, das ist richtig! Danke!

Wie führt man den Nachweis, dass die Nullfunktion in der Menge S enhalten ist? Also sie könnte ja enthalten sein, weil die Menge, ja nur erfordert, dass ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, also
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
, also

Danke @Elvis! Freude
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Wie steht es um das additive Inverse Element? Wir suchen mit und definieren , . Dann ist und außerdem . Geht das? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so gut. Du musst zwei Dinge zeigen: 1. (betrachte dafür -f an den Stellen 3 und 4) 2. (das zweite muss für alle reellen x gelten)
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habe mir das nochmal angesehen, und würde nun folgendes in der Zusammenfassung darstellen:

Sei , die Frage: Ist ein Unterring von , wobei der Ring der reell wertigen Funktionen auf ist.

Ich gehe der Reihenfolge durch die Subringaxiome.


Nicht Leer: Wir zeigen und damit . Die Nullfunktion erfüllt die Bedingung , denn und , damit also . Damit ist .

Abgeschlossen unter der Addition: Seien , wir zeigen, dass dann ist. Beachte , also folgt daraus, dass .

Neutrales Element: Wir zeigen, dass es ein Element gibt sodass . Sei die Nullfunktion, dann haben wir auf der anderen Seite ist .

Additives Inverses Element: Wir zeigen . Wir zeigen (i) und (ii) .

Für (i) Sei , dann gilt . Wir wollen zeigen, dass auch diese Bedingung erfüllt, d.h. . Da für alle , erhalten wir und . Da , folgt , was bedeutet, dass auch die Bedingung erfüllt. Daher ist für alle in enthalten.

Für (ii). Beachte , als Definition der Addition von Funktionen. Wir definieren für alle . Nun ist für alle . Damit ist für alle .

Abgeschlossen bezüglich der Multiplikation: Sei wir zeigen, dass . Beachte und damit ist .

Multiplikative Identität: Wir zeigen, dass es ein Element gibt sodass . Sei . Wir zeigen (i) . Beachte und , damit ist und die Bedingung der Funktionen in der Menge ist erfüllt. Damit haben wir unser Element , dass erfüllt.

Geht das so? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das meiste ist richtig (mit teilweise ungenaue Notation). Aber das hier reicht nicht
Zitat:
Original von KonverDiv

Neutrales Element: Wir zeigen, dass es ein Element gibt sodass . Sei die Nullfunktion, dann haben wir auf der anderen Seite ist .

Geht das so? verwirrt


Auch hier musst zwei Punkte zeigen: und überall, nicht nur in . Wenn nur das gefordert wäre, so wäre das neutrale Element auch nicht eindeutig: würde additiv genauso neutral agieren (sofern man nur auf 3,4 als Stellen guckt).
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo @IfindU, danke für dein Feedback! Freude

Zitat:
Original von IfindU
Auch hier musst zwei Punkte zeigen: und überall, nicht nur in .

Habe ich den ersten Punkt nicht schon innerhalb meines ersten Punktes "Nicht Leer" gezeigt?
Zu deinem zweiten Punkt ist das nicht, sei und , dann ? verwirrt

Falls du weitere Anregungen hast würde ich mich freuen!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Dass in ist, hast du gezeigt, aber das darfst du hier gerne noch einmal erwähnen Augenzwinkern
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann danke für deine Hilfe!
KonverDiv Auf diesen Beitrag antworten »

Thematisch passt das hier auch noch dazu:

Angenommen wir betrachten jetzt . Ist in diesem Fall ein Unterring von , dem Ring der reell wertigen Funktionen auf unter punktweisen Operationen?

Ich würde sagen, dass in diesem Fall kein Unterring sein kann, weil das neutrale Element bezüglich der Multiplikation fehlt. Wir hätten gern , definieren wir als für alle , dann ist aber nicht in . Ich habe auch bisher keine andere Funktion gefunden, die diese Aufgabe übernehmen könnte. verwirrt

Was meint ihr? smile
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Warum definiert du nicht für x=1 und 1 sonst?

Edit: kann man hier die Abbildung betrachten? Deren Kern ist S und damit S ein Ideal
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