Potenzreihenentwicklung Konvergenzradius

04.06.2024, 16:04

Gaststudent_Physik

Potenzreihenentwicklung Konvergenzradius

Ich habe die Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe ist, diese mittels der geometrischen Reihe in eine Potenzreihe zu entwickeln.

Dies ist auch leicht ersichtlich und ich komme auf die Form:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} -(1)^n z^{(2n+2)} \end{eqnarray*}$

Ich stolpere aber beim Konvergenzradius. Für diesen kennen wir die Formel von Cauchy-Hadamard, mittels limes sup der n-ten Wurzel des Betrags des Koeffizienten. Wir haben die Potenzreihe jetzt aber nicht mehr in der Form:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n \end{eqnarray*}$

gegeben, sondern eben mit $\begin{eqnarray*} z^{(2n+2)} \end{eqnarray*}$ .

Meine Gedanken: Man könnte das jetzt substituieren, also:

$\begin{eqnarray*} m = 2n+2 \end{eqnarray*}$ , dann haben wir stehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^{\infty} a_m z^m \end{eqnarray*}$

Nur was ist denn jetzt der Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ ? Es erscheint mir nicht richtig, da jetzt stupide zu schreiben:

$\begin{eqnarray*} m = 2n +2 \Rightarrow n= \frac{m-2}{2} \end{eqnarray*}$ Daher:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^{\frac{m-2}{2}} z^m \end{eqnarray*}$

Diese Potenzreihe gibt auch nicht die Werte wieder, welche die urprüngliche Potenzreihe ausgibt ( $\begin{eqnarray*} z^2 -z^4 + z^6 -z^8 ... \end{eqnarray*}$ ).

Wie bringt man sowas denn in die "Standardform" $\begin{eqnarray*} a_m z^m \end{eqnarray*}$ , sodass ich die Cauchy-Hadamard-Formel für den Konvergenzradius mit dem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ nutzen kann?

04.06.2024, 16:16

IfindU

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RE: Potenzreihenentwicklung Konvergenzradius
Eine Methode ist die fehlenden Summanden explizit aufzuschreiben.

$\begin{eqnarray*} a_k = \begin{cases}(-1)^n & \text{falls } k = 2n+2 \text{ für ein } n \in \mathbb N \\ 0 &\text{sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n+2} = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k \end{eqnarray*}$ .

04.06.2024, 16:25

HAL 9000

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Auch möglich wäre die Darstellung $\begin{eqnarray*} f\left(z\right) = -\sum_{m=1}^{\infty} \cos\left(m\frac{\pi}{2}\right) z^m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ .

Ob die nun unbedingt übersichtlicher ist, sei mal dahingestellt. Augenzwinkern

04.06.2024, 16:55

Leopold

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Die Koeffizientenfolge ist

$\begin{align*} \left( a_0,a_1,a_2,\ldots \right) = \left( 0,0,1,0,-1,0,1,0,-1, \ldots \right) \end{align*}$

Geht man bei den Folgegliedern zu den Beträgen und der $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Wurzel über, erhält man

$\begin{align*} \left( 0,0,1,0,1,0,1,0,\ldots \right) \end{align*}$

Von dieser Folge brauchst du nun den größten Häufungspunkt und dessen Kehrwert. Du könntest dafür auch formal

$\begin{align*} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \frac{1}{2} \left( 1+ (-1)^n \right) \, , \ n \geq 1 \end{align*}$

schreiben. Aber was bringt das an zusätzlichem Gewinn?

Im konkreten Fall kannst du den Konvergenzradius auch aus der ursprünglichen Reihe, in der du substituiert hast, erhalten:

$\begin{align*} \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n \end{align*}$ mit Konvergenzkreis $\begin{align*} |t|<1 \end{align*}$

Und nun substituierst du $\begin{align*} t = -z^2 \end{align*}$ nicht nur in der Reihe, sondern auch in der Gültigkeitsbedingung:

$\begin{align*} \left| -z^2 \right| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z \right|^2 < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z \right| < 1 \end{align*}$

In der Funktionentheorie lernt man, daß der Konvergenzkreis einer Potenzreihe maximal im natürlichen Holomorphiegebiet einer Funktion ist. Und im Falle $\begin{align*} \frac{1}{1+z^2} \end{align*}$ mit Entwicklung um 0 ist bei $\begin{align*} \pm \operatorname{i} \end{align*}$ Schluß, so daß man auch daraus auf den Konvergenzradius schließen kann.

06.06.2024, 15:10

Gaststudent_Physik

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Zitat:

Original von Leopold

In der Funktionentheorie lernt man, daß der Konvergenzkreis einer Potenzreihe maximal im natürlichen Holomorphiegebiet einer Funktion ist. Und im Falle $\begin{align*} \frac{1}{1+z^2} \end{align*}$ mit Entwicklung um 0 ist bei $\begin{align*} \pm \operatorname{i} \end{align*}$ Schluß, so daß man auch daraus auf den Konvergenzradius schließen kann.

Ich denke, das ist die eleganteste Lösung und wahrscheinlich auch so in der Aufgabe gedacht, statt großartig zu substituieren. Freude

Ich habe dazu eine Verständnisfrage, ob ich das Prinzip auch richtig verinnerlicht habe. Man nimmt im Prinzip visuell eine Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} |z-z_0| < R \end{eqnarray*}$ um den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und die Funktion f ist innerhalb dieser Kreisscheibe holomorph, darf also keine (isolierten) Singularitäten beinhalten. Der minimale Abstand zur nächsten Singularität (auf der Kreislinie) definiert den Konvergenzradius R.

Wenn ich jetzt also den Konvergenzradius für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ kenne, dann ändert sich auch der Konvergenzradius nicht, wenn ich eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ ranmultipliziere, die keine Singularitäten aufweißt (wie beispielsweise $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ ), daher hat $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ ebenfalls Konvergenzradius 1.

06.06.2024, 15:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gaststudent_Physik
Wenn ich jetzt also den Konvergenzradius für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ kenne, dann ändert sich auch der Konvergenzradius nicht, wenn ich eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ ranmultipliziere, die keine Singularitäten aufweist

Zumindest wird er nicht kleiner. Diese vorsichtige Formulierung liegt daran, dass prinzipiell ja auch die Wahl von $\begin{eqnarray*} g(z)=1+z^2 \end{eqnarray*}$ hier denkbar ist, oder anderer Funktionen, welche die Polstellen $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$ zu bloßen hebbaren Unstetigkeitsstellen transformieren.

06.06.2024, 18:24

Gaststudent_Physik

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Dann hätte ich da doch noch eine Frage in dem Zusammenhang, was auch die Hebbarkeit angeht:

Wir haben vor Kurzem gelernt, dass eine Laurentreihe sich als Summe von Haupt- und Nebenteil schreiben lässt. Der Hauptteil hat negative, der Nebenteil nichtnegative Potenzen.

Eine Funktion mit hebbaren Singularitäten lässt sich nur mittels Nebenteil (also nichtnegativen Potenzen) aufschreiben.

Das würde ja auf $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ zutreffen, dessen Potenzreihe nur mit Potenzen $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \end{eqnarray*}$ auskommt. $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ sind hier aber Polstellen und nicht hebbar.

Was habe ich hier falsch verstanden? ChatGPT bringt mich auch nicht weiter. Es bestätigt mich jedes mal nur abwechselnd, dass die Singularität bei $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ hebbar ist, weil die Laurentreihe nur einen Nebenteil besitzt und anschließend, dass es sich doch um einen Pol handelt, weil der limes für die Funktion (gegen i) nicht existiert. verwirrt

06.06.2024, 18:52

HAL 9000

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Zur Laurentreihe gehört nicht nur die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , hier $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ , sondern auch noch das Gebiet, auf dem die Reihe dann auch tatsächlich gültig ist:

1) Bisher haben wir die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} z^{2n} \end{eqnarray*}$ , gültig auf der offenen Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ . Das ist tatsächlich eine Laurentreihe ohne Hauptteil.

2) Was ist mit dem Rest? Auf $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ liegen die beiden Singularitäten, Ok, aber was ist mit $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ ? Dort ist eine andere Laurentreihe für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gültig - versuche die mal aufzustellen. Tipp dazu: $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{1+z^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{z^2}} \end{eqnarray*}$

07.06.2024, 16:43

Gaststudent_Physik

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zur Laurentreihe gehört nicht nur die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , hier $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ , sondern auch noch das Gebiet, auf dem die Reihe dann auch tatsächlich gültig ist:

1) Bisher haben wir die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} z^{2n} \end{eqnarray*}$ , gültig auf der offenen Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ . Das ist tatsächlich eine Laurentreihe ohne Hauptteil.

2) Was ist mit dem Rest? Auf $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ liegen die beiden Singularitäten, Ok, aber was ist mit $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ ? Dort ist eine andere Laurentreihe für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gültig - versuche die mal aufzustellen. Tipp dazu: $\begin{eqnarray*} \frac{z^2}{1+z^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{z^2}} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe halbwegs, worauf es hinausläuft.

In der Schreibweise hätten wir mittels der geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^nz^{-2n} \end{eqnarray*}$

Somit auch negative Potenzen, also ein Hauptteil der Laurent-Reihe existiert für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ .

Kann man jetzt sagen: Da wir unendlich viele negative Potenzen haben, hat die Funktion in diesem Bereich für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ eine wesentliche Singularität? Oder ist das Schwachsinn, weil wir ja ohnehin $\begin{eqnarray*} |z| > 1 \end{eqnarray*}$ betrachten?

07.06.2024, 17:36

HAL 9000

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Die Funktion hier hat Singularitäten bei $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} z=-i \end{eqnarray*}$ und an keinen weiteren Stellen, insbesondere auch nicht bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ . Das ist so, das bleibt so, und das wird sich durch weiteres Sinnieren auch nicht ändern. Augenzwinkern

Anscheinend denkst du hier an Funktionen $\begin{eqnarray*} f\left(z\right) \end{eqnarray*}$ , die an einer Stelle $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ in eine Laurentreihe entwickelt werden sollen, an der sie eine Singularität besitzen?

Sowas gibt es, aber im vorliegenden Fall ist das eben nicht so: Wir entwickeln hier an der Stelle $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ , und da hat $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{z^2}{1+z^2} \end{eqnarray*}$ keine Singularität. Das tut aber der Tatsache keinen Abbruch, dass eine Laurentreihe wie

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{-2n} \end{eqnarray*}$ gültig für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$

hier Sinn macht.

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