Ein Kalkül mit Winkelzügen

07.06.2024, 07:46	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Kalkül mit Winkelzügen Traditionelle logische Kalküle sind mit einem bestimmten Defizit behaftet, zu dessen Überwindung ich mir das folgende System ausgedacht habe. Es stehen $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ für beliebige aussagenlogische Formeln und $\begin{eqnarray} \Gamma,\Gamma' \end{eqnarray}$ für endliche Formelmengen. Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Formel, so ist auch $\begin{eqnarray} \Box_\Gamma A \end{eqnarray}$ eine Formel. Der Kalkül besteht aus den beiden Schlussregeln $\begin{eqnarray} \dfrac{\vdash A\to B\quad\;\vdash A}{\vdash B},\quad \dfrac{\vdash A}{\vdash\Box_\Gamma A} \end{eqnarray}$ und den Axiomen(schemata) $\begin{eqnarray} \Box_{\{A\}} A, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box_\Gamma (A\to B)\to\Box_{\Gamma'} A\to \Box_{\Gamma\cup\Gamma'}B, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box_{\Gamma\cup\{A\}}B\to\Box_\Gamma (A\to B), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box_\Gamma A\to\Box_{\Gamma'}A \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \Gamma\subseteq\Gamma', \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box_\emptyset A\to A, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\land B\to A, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\land B\to B, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\to B\to A\land B, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\to A\lor B, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B\to A\lor B, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\lor B\to (A\to C)\to (B\to C)\to C, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A\to\bot)\to\lnot A, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lnot A\to A\to\bot, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lnot\lnot A\to A. \end{eqnarray}$ Wie wäre dieser Kalkül zu deuten, zu erklären? Welches Defizit wurde überwunden?

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