Gleichungssystem auflösen

07.06.2024, 19:01	hadiwi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem auflösen Meine Frage: Gleichungssystem mit Variablen r, x und y: 2 r = 14 + x + y r² = (r - x)² + (4 / 3)² r² = (r - y)² + (2 / 3)² Meine Ideen: Ich habe lange herumgerechnet, komme aber auf keinen grünen Zweig. Falls überhaupt möglich, bitte ich um eine ausführliche Lösung.
07.06.2024, 19:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele Wege führen bei diesem nichtlinearen Gleichungssystem nach Rom. Wenn der Fokus auf $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ liegt, also $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ weniger interessieren, dann geht es so relativ schnell: Zweite und dritte Gleichung voneinander substrahiert, und dann $\begin{eqnarray} 2r-x-y=14 \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray} 0 = (y-x)(2r-x-y) + \frac{4}{3} = 14(y-x)+\frac{4}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-y = \frac{2}{21} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ aus erster Gleichung nur rechts in dritte Gleichung eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray} r^2 = \left( 7 + \frac{x-y}{2}\right)^2 + \frac{4}{9} = \left( 7 + \frac{1}{21}\right)^2 + \frac{4}{9} = \frac{22100}{441} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = \pm \frac{10}{21}\sqrt{221} \end{eqnarray}$ . Falls $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sowas wie ein Radius sein soll, kommt natürlich nur die positive Lösung in Frage.
07.06.2024, 20:44	hadiwi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, HAL9000.
10.06.2024, 09:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, irgendwie habe ich in Erinnerung, dass du nur an $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ interessiert warst - vielleicht habe ich mir das nur eingebildet. Jetzt lese ich jedenfalls oben, dass du generell die Lösung des Gleichungssystems haben willst. Ist aber auch kein Problem, wenn man $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ hat: Aus $\begin{eqnarray} x+y = 2r-14 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x-y = \frac{2}{21} \end{eqnarray}$ folgt ja dann unmittelbar durch Summe bzw. Differenz $\begin{eqnarray} x = r-\frac{146}{21} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = r-\frac{148}{21} \end{eqnarray}$ .

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