Quadratische Ergänzung

08.06.2024, 16:23

BellaB

Quadratische Ergänzung

Meine Frage:
Wie löse ich folgende quadratische Ergänzung:
1/3x²+x
Und
2x²+6x

Meine Ideen:

Ich nehme im 2. Fall doch die erste bin. Formel und komme dann auf diese Teilschritte:
2ab+b²= 3x=2xb =x=1.5 richtig?

Dann setze ich es in die Formel ein
2x²+6x
2(x²+3x+1,5²-1,5²)
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter... Wie wird es richtig in Klammer gesetzt?

08.06.2024, 17:08

Elvis

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$\begin{eqnarray*} x^2 +3x=x^2 +3x+\frac 9 4-\frac 9 4=(x+\frac 3 2)^2 -\frac 9 4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+\frac 3 2)^2 =\frac 9 4 \end{eqnarray*}$
Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} x+\frac 3 2=\pm \frac 3 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$

Geht auch einfacher, weil man sofort sieht, dass x=0 eine Lösung ist. Übrigens war das meine erste quadratische Gleichung, die ich mit quadratischer Ergänzung gelöst habe, nachdem ich mal eben bei Wikipedia gelesen habe, wie das geht. Bin ja auch noch nicht einmal 72 Jahre alt, also noch lernfähig. Augenzwinkern

08.06.2024, 20:18

frenchopen

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Zitat:

2(x²+3x+1,5²-1,5²)
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter...

Die ersten drei Terme (Summanden) in der Klammer werden mittels binomischer Formel zu (x+1,5)².
Dazu musst du lediglich immer nur die Basis des 1. und 3. Summanden (also die mit dem Quadrat) in die Binomklammer schreiben.
Falls es danach noch dein Ziel ist das Ganze in die so genannte Scheitelpunktform a(x-d)²+e zu bringen, dann musst du noch via Ausmultiplizieren die äußere Klammer auflösen, so dass es dann so aussieht:

$\begin{eqnarray*} 2(x^2+3x+1,5^2-1,5^2)=2((x+1,5)^2-1,5^2)=2(x+1,5)^2-2 \cdot 1,5^2=2(x+1,5)^2-4,5 \end{eqnarray*}$

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