Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

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09.06.2024, 07:13	Johann2124	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Meine Frage: Hallo an alle! Ich soll überprüfen, ob die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f_n)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> f_n(x)=\sqrt[n]{1+x^{2n}}<br /> \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} I=[0,2] \end{eqnarray}$ punktweise bzw. gleichmäßig konvergiert. Meine Ideen: Ich habe bereits nachgewiesen, dass die Funktionenfolge punktweise gegen die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} f \colon [0,2] \rightarrow \R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} <br /> f(x) = \begin{cases}<br /> 1 &\text{für $x \in [0,1]$},\\<br /> x^2 &\text{für $x \in (1,2]$}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ konvergiert. Ich vermute, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert. Für $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray}$ habe ich folgendermaßen argumentiert: $\begin{eqnarray} <br /> \sup_{x \in [0,1]} \left(\sqrt[n]{1+x^{2n}}-1\right) = \sqrt[n]{2}-1 \rightarrow 0 \quad \text{für $n \to \infty$}.<br /> \end{eqnarray}$ Leider fehlt mir der Nachweis für den Bereich $\begin{eqnarray} 1 < x \leq 2 \end{eqnarray}$ . Hier komme ich sowohl mit der allgemeinen Definition ( $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon) \in \N \end{eqnarray}$ ...) als auch mit Kriterium über das Supremum nicht weiter, da meine Abschätzung im ersten Falle nicht auf eine Nullfolge führt und im zweiten Falle ich nicht mathematisch das Supremum in der angegebenen Menge bestimmen kann (Ich vermute, es liegt bei $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ). Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen? Vielleicht ist die Funktionenfolge auch nicht gleichmäßigkonvergent oder ich habe bei der Grenzfunktionen einen Fehler? Vielen Dank für eure Hilfe! Edit by IfindU: LaTex Tags fixed
09.06.2024, 07:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Für $\begin{eqnarray} x \in (1,2] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{ 1 + x^{2n}} - x^2 = x^2 ( \sqrt[n]{ x^{-2n} + 1} - 1 ) \leq ... \end{eqnarray}$ . Hilft das schon?
09.06.2024, 10:30	Johann2124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Folgende Abschätzung wäre dann möglich $\begin{eqnarray} x^2\left(\sqrt[n]{x^{-2n} + 1} - 1\right) \leq x^2 \left(\sqrt[n]{x^{-2n}} +1 - 1\right) = 1. \end{eqnarray}$ Ich gehe aber davon aus, dass du diese Abschätzung nicht meinst und es eine andere Abschätzung zu einer Nullfolge gibt.
09.06.2024, 10:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Die erste Abschätzung ist zu grob. Was ist denn $\begin{eqnarray} \sup_{x \in (1,2]}\sqrt[n]{x^{-2n} + 1} \end{eqnarray}$ ?
09.06.2024, 10:50	Johann2124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Es gilt $\begin{eqnarray} \sup_{x \in (1,2]} \sqrt[n]{x^{-2n}+1} = \sqrt[n]{2}. \end{eqnarray}$
09.06.2024, 11:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Wie kannst du diesen Fakt also oben ausnutzen, um eine bessere Abschätzung zu bekommen?
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09.06.2024, 11:33	Johann2124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Damit ist $\begin{eqnarray} x^2\left(\sqrt[n]{x^{-2n} + 1} - 1\right) \leq x^2\left(\sqrt[n]{2} - 1\right) \leq 4 \left(\sqrt[n]{2} - 1\right) \end{eqnarray}$ Des Weiteren konvergiert die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n := 4 (\sqrt[n]{2} - 1) \end{eqnarray}$ gegen null. Somit konvergiert $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{1 + x^{2n}} \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (1,2] \end{eqnarray}$ . Um den Beweis vollständig aufzuschreiben, muss ich $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray} N = \max\{N_1, N_2\} \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} N_1 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ der Index ist, ab dem $\begin{eqnarray} \lvert \sqrt[n]{1 + x^{2n}} - 1 \rvert < \varepsilon \end{eqnarray}$ und entsprechend $\begin{eqnarray} N_2 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ der Index ist, ab dem $\begin{eqnarray} \lvert \sqrt[n]{1 + x^{2n}} - x^2 \rvert < \varepsilon \end{eqnarray}$ gilt, oder?
09.06.2024, 11:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Sehr gut. Du solltest aber noch bei der Definition der N dazu schreiben auf welchen Intervallen die jeweiligen Ungleichheiten gelten.
09.06.2024, 11:38	Johann2124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Das mache ich. Vielen Dank für die super Hilfe!

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