Trigonometrischer Beweis

10.06.2024, 09:49

MatzeMatz

Trigonometrischer Beweis

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |\sin(a+b)|\leq| \sin(a) | + | \sin(b) | \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mit der Reihendarstellung und den Additionssätzen bin ich bisher zu keinem Ergebnis gekommen. Ich habe mir auch überlegt, dass $\begin{eqnarray*} \sin(x) | \leq 1 \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein muss, also auch $\begin{eqnarray*} | \sin(a+b) | \leq | \end{eqnarray*}$

LaTeX-End-Tag repariert (/latex statt \latex) Steffen

10.06.2024, 10:04

Elvis

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Additionstheorem und Dreiecksungleichung

10.06.2024, 12:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatzeMatz
Ich habe mir auch überlegt, dass $\begin{eqnarray*} |\sin(x) | \leq 1 \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein muss,

Und ebenso auch $\begin{eqnarray*} |\cos(x)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ , was für den von Elvis skizzierten Weg wichtig ist.

10.06.2024, 12:37

MatzeMatz

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Also

$\begin{eqnarray*} |\sin(a+b)| = \\|\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)| \leq \\|\sin(a)\cos(b)|+|\sin(b)\cos(a)|\leq \\|\sin(a)|+|\sin(b)| \end{eqnarray*}$

da im letzten Schritt $\begin{eqnarray*} |\sin(a)\cos(b)|\leq|\sin(a)| \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} |\cos(b)|\leq1 \end{eqnarray*}$

10.06.2024, 12:47

Elvis

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Es fehlt noch der Zwischenschritt
$\begin{eqnarray*} ... =|sin(a)|\cdot |cos(b)|+|cos(a)|\cdot |sin(b)|\le |sin(a)|+|sin(b)| \end{eqnarray*}$
Ausserdem ist auch $\begin{eqnarray*} |cos(a)|\le 1 \end{eqnarray*}$

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