Geometrische Progression

12.06.2024, 15:03

Mahmud

Geometrische Progression

Meine Frage:
Die Summe der ersten 5 sukzessive Terme einer geometrischen Progression ist 242 und die Summe des ersten (1.), dritten (3.) und fünften (5.) Terms ist 182. Wie lauten die Terme dieser geometrische Progression?

Meine Ideen:
Ich habe diese Terme mal als (a, aq, aq^2, aq^3, und aq^4) und mal als (a/q^2, a/q, a, aq und aq^2) eingesetzt, bekam aber keinen Ausweg / keine Lösung!!
[a = der erste Term; q = Quotient (EN: common ration)].
Die Ergebnisse sind reelle Zahlen. Keine komplexe Zahl kommt in der Lösung vor!!

12.06.2024, 15:44

Steffen Bühler

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RE: Geometrische Progression
Willkommen im Matheboard!

Wenn Du

$\begin{eqnarray*} a+aq^2+aq^4=182 \end{eqnarray*}$

von

$\begin{eqnarray*} a+aq+aq^2+aq^3+aq^4=242 \end{eqnarray*}$

abziehst und außerdem

$\begin{eqnarray*} as_4=a\frac {1-q^5}{1-q}=242 \end{eqnarray*}$

berücksichtigst, erhältst Du eine quartische Gleichung mit vier Lösungen, von denen nur eine in Frage kommt.

Viele Grüße
Steffen

12.06.2024, 15:55

HAL 9000

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@Mahmud

Deine zweite Idee ist gut, sie liefert

$\begin{eqnarray*} a\left(\frac{1}{q^2}+\frac{1}{q}+1+q+q^2\right) = 242 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\left(\frac{1}{q^2}+1+q^2\right) = 182 \end{eqnarray*}$ .

Substituiert man nun $\begin{eqnarray*} x=q+\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x^2=q^2+2+\frac{1}{q^2} \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} a\left(x^2+x-1\right) = 242 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\left(x^2-1\right) = 182 \end{eqnarray*}$ .

Kommst du nun zurecht? Nach der Lösung dann von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ rücksubstituieren.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
erhältst Du eine quartische Gleichung mit vier Lösungen, von denen nur eine in Frage kommt.

Genau genommen zwei, aber die zweite ist der Kehrwert der ersten, und führt somit auf dieselbe geometrische Folge, nur in umgekehrter Reihenfolge.

12.06.2024, 20:16

Mahmud

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Geometrische Progression
@HAL9000,

vielen herzlichen Dank.

Deiner Tipp, eine Assistenz (x = q + 1/q) zu wählen, war goldig!!

Ciao.

Mahmud

12.06.2024, 23:58

mYthos

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Eine (symmetrische) Gleichung 4. Grades kann im Allgemeinen so gelöst werden, indem sie durch x² dividiert wird dann die Substitution

$\begin{eqnarray*} x + \frac 1 x = u \ ; \ \to \ x^2 + \frac 1 {x^2} = u^2 - 2 \end{eqnarray*}$

durchgeführt wird.

Anmerkung:
Die Symmetrie muss auch in den Vorzeichen stimmen. Allerdings führt auch der Fall

$\begin{eqnarray*} x - \frac 1 x = u \ ; \ \to \ x^2 + \frac 1 {x^2} = u^2 + 2 \end{eqnarray*}$

zum Erfolg.

mY+

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