Offenen Konvergenzbereich für trigonometrische Reihe bestimmen

13.06.2024, 17:06	Gaststudent_Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenen Konvergenzbereich für trigonometrische Reihe bestimmen Aufgabe: Bestimme offenen Konvergenzbereich für die trigonometrische Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1+n^2}{2^n + 3^{-n}} e^{int} \end{eqnarray}$ Ich verstehe leider nicht ganz, was verlangt ist. Mit $\begin{eqnarray} z = e^{it} \end{eqnarray}$ haben wir eine Laurentreihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{1+n^2}{2^n + 3^{-n}} z^{n} \end{eqnarray}$ um den Entwicklungspunkt 0. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, konvergiert diese im Kreisring $\begin{eqnarray} 2 < \|z\| < 3 \end{eqnarray}$ . Dazu habe ich die Laurentreihe in Haupt- und Nebenteil aufgeteilt und mittels Cauchy-Hadamard-Formel die Konvergenzradien bestimmt, welche den inneren und äußeren Radius des Annulus beschreiben. Bei einer trigonometrischen Reihe mit $\begin{eqnarray} z = e^{it} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|z\| = 1 \end{eqnarray}$ . Der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung liegt nicht im Annulus der entsprechenden Laurentreihe, damit divergiert die trigonometrische Reihe. Denke ich richtig und war das jetzt schon die Aufgabe? Ich verstehe den Ausdruck "offenen Konvergenzbereich bestimmen" nicht so recht.
13.06.2024, 18:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Offenen Konvergenzbereich für trigonometrische Reihe bestimmen Der eine Teil liefert $\begin{eqnarray} \|z\|<2 \end{eqnarray}$ , der andere $\begin{eqnarray} \|1/z\|<3 \end{eqnarray}$
13.06.2024, 19:19	Gaststudent_Physik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe, ich habe mich bei dem einen Grenzwert vertan. Dann haben wir also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} < \|z\| < 2 \end{eqnarray}$ , der Einheitskreis ist enthalten und somit konvergiert die trigonometrische Reihe auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , korrekt?
13.06.2024, 19:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »

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