Holomorphe Funktion n-Eck

14.06.2024, 07:36

firecracker325

Holomorphe Funktion n-Eck

Meine Frage:
Gegeben sei eine holomorphe Funktion im Inneren (offen) eines gleichmäßigen n-Ecks, definiert über die n-te Wurzel e^(k2pi/n), mindestens ein Dreieck, (stetig auf Abschluss des n-Ecks)
z.z. wenn f=0 auf einer Seite des n-Ecks, dann auch im gesamten Inneren und auf dem Rand

Meine Ideen:
Drehsymmetrie, def. einerneuenFunktion, Identitätssatz

14.06.2024, 08:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von firecracker325
Gegeben sei eine holomorphe Funktion im Inneren (offen) eines gleichmäßigen n-Ecks, definiert über die n-te Wurzel e^(k2pi/n), mindestens ein Dreieck, (stetig auf Abschluss des n-Ecks)

Ziemlich wilde Formulierung, wo man sich nach Plausibilität zusammensuchen muss, welche Eigenschaft sich worauf bezieht.

Es geht wohl für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ um ein regelmäßiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} e^{\frac{k2\pi}{n}i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ , und um eine Funktion die im Inneren dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Ecks holomorph und auf dem abgeschlossenen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck stetig ist.

14.06.2024, 09:10

firecracker325

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Ja, dies ist korrekt, sorry für die umständliche Ausdrucksweise

14.06.2024, 11:47

HAL 9000

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Ich hätte eine Beweisidee basierend auf der Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) := \prod\limits_{k=0}^{n-1} f\left(z \cdot e^{\frac{2\pi}{n}ki} \right) \end{eqnarray*}$ . Allerdings kommt sie mir insgesamt ziemlich umständlich vor, daher warte ich mal noch etwas ab.

14.06.2024, 15:53

firecracker325

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Kannst du deine Idee etwas ausführen, falls jetzt nichts mehr Neues kommt?

14.06.2024, 17:29

HAL 9000

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1) Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist auf dem gesamten n-Eck-Rand gleich Null. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig (Satz von Heine). Damit findet man für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ einen geschlossenen Weg "nahe" des n-Eck-Randes, aber im Holomorphie-Gebiet, für den durchgehend $\begin{eqnarray*} |g(z)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

2) Mit Cauchyscher Integralformel sowie $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to 0 \end{eqnarray*}$ kann man nun eine Nullumgebung finden, in der $\begin{eqnarray*} h(z)=0 \end{eqnarray*}$ .

3) Damit gilt dann, dass die Nullstellenmenge von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ den Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} z_0=0 \end{eqnarray*}$ besitzt - Zeit für den Identitätssatz.

EDIT: In 2) kann man wohl auch mit dem Maximumprinzip argumentieren.

15.06.2024, 13:18

firecracker325

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Kannst du die Schritte nochmals ausführlicher erklären für die Zusammenhänge?

17.06.2024, 09:09

HAL 9000

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Ich denke, dass ich genug Anhaltspunkte gegeben habe. Allenfalls zu 3) noch eine Anmerkung:

Gemäß 2) ist $\begin{eqnarray*} g\left(z\right) = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus jener Nullumgebung. Gemäß Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gehört dann mindestens eine der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} z \cdot e^{\frac{2\pi}{n}ki} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ zur Nullstellenmenge von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Damit ist natürlich auch 0 selbst Häufungspunkt dieser $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -Nullstellenmenge.

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