Holomorphe Funktion n-Eck

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firecracker325 Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Funktion n-Eck
Meine Frage:
Gegeben sei eine holomorphe Funktion im Inneren (offen) eines gleichmäßigen n-Ecks, definiert über die n-te Wurzel e^(k2pi/n), mindestens ein Dreieck, (stetig auf Abschluss des n-Ecks)
z.z. wenn f=0 auf einer Seite des n-Ecks, dann auch im gesamten Inneren und auf dem Rand

Meine Ideen:
Drehsymmetrie, def. einerneuenFunktion, Identitätssatz
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von firecracker325
Gegeben sei eine holomorphe Funktion im Inneren (offen) eines gleichmäßigen n-Ecks, definiert über die n-te Wurzel e^(k2pi/n), mindestens ein Dreieck, (stetig auf Abschluss des n-Ecks)

Ziemlich wilde Formulierung, wo man sich nach Plausibilität zusammensuchen muss, welche Eigenschaft sich worauf bezieht.

Es geht wohl für um ein regelmäßiges -Eck mit den Eckpunkten für , und um eine Funktion die im Inneren dieses -Ecks holomorph und auf dem abgeschlossenen -Eck stetig ist.
firecracker325 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dies ist korrekt, sorry für die umständliche Ausdrucksweise
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte eine Beweisidee basierend auf der Funktion . Allerdings kommt sie mir insgesamt ziemlich umständlich vor, daher warte ich mal noch etwas ab.
firecracker325 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du deine Idee etwas ausführen, falls jetzt nichts mehr Neues kommt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) Funktion ist auf dem gesamten n-Eck-Rand gleich Null. Außerdem ist gleichmäßig stetig (Satz von Heine). Damit findet man für jedes einen geschlossenen Weg "nahe" des n-Eck-Randes, aber im Holomorphie-Gebiet, für den durchgehend gilt.

2) Mit Cauchyscher Integralformel sowie kann man nun eine Nullumgebung finden, in der .

3) Damit gilt dann, dass die Nullstellenmenge von den Häufungspunkt besitzt - Zeit für den Identitätssatz.


EDIT: In 2) kann man wohl auch mit dem Maximumprinzip argumentieren.
 
 
firecracker325 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du die Schritte nochmals ausführlicher erklären für die Zusammenhänge?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass ich genug Anhaltspunkte gegeben habe. Allenfalls zu 3) noch eine Anmerkung:

Gemäß 2) ist für jedes aus jener Nullumgebung. Gemäß Definition von gehört dann mindestens eine der Zahlen mit zur Nullstellenmenge von . Damit ist natürlich auch 0 selbst Häufungspunkt dieser -Nullstellenmenge.
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