Konvergenzradius Potenzreihe

22.06.2024, 15:37	Knut1998	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius Potenzreihe Meine Frage: Ich soll den Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(n+1)!}{n^{n} } x^{2n+1} \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Da mich die $\begin{eqnarray} x^{2n+1} \end{eqnarray}$ verwirrt haben, habe ich anstatt das das QK und WK für Konvergenzradien zu verwenden versucht mit dem "normalen" Quotientenkriterium für Reihen zu arbeiten. Ich habe erhalten $\begin{eqnarray} \frac{\frac{(n+2)!}{n^{n+1} } x^{2n+3}}{\frac{(n+1)!}{n^{n} } x^{2n+1}} = \frac{n+2}{n}x^2 \end{eqnarray}$ Nun müsste ich ja eigentlich herausfinden, für welche x² für fast alle n der Term < 1 ist. Für sehr große n muss x² doch lediglich kleiner als 1 sein, ist der Konvergenzradius also R = 1?
22.06.2024, 16:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist leider schon beim Einsetzen falsch: Der Quotient, den du betrachten musst lautet $\begin{eqnarray} \frac{\frac{(n+2)!}{{\color{red}(n+1)}^{n+1} } x^{2n+3}}{\frac{(n+1)!}{n^{n} } x^{2n+1}} \end{eqnarray}$ . Die Auswirkungen dieses Fehlers sind beträchtlich: Nun kommt nämlich (indirekt) $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ ins Spiel... EDIT: Und wieder ein Crossposter. https://www.onlinemathe.de/forum/Konverg...-Potenzreihe-12
22.06.2024, 17:31	Knut1998_v2	Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort Oh tatsächlich. Dann erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{\frac{(n+2)!}{(n+1)^{n+1} } x^{2n+3}}{\frac{(n+1)!}{n^{n} } x^{2n+1}}= \frac{n+2}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n x^2 = \frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{1}{e}\cdot x²<br /> \end{eqnarray}$ Bedeutet das dann, dass der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} R = \sqrt{e} \end{eqnarray}$ beträgt?
22.06.2024, 19:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist unnötig, dass du jetzt alle deine Beiträge aus dem anderen Thread hier nochmal reinkopierst. Bleib dort und bring es dort auch zuende.

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