Integralregel herleiten (maths 505)

22.06.2024, 18:23

Ulrich Ruhnau

Integralregel herleiten (maths 505)

Ich bin in youtube auf ein interessantes Mathevideo gestoßen, wo der Autor einen Integralsatz herleitet. Aber mit dieser Herleitung bin ich nicht zufrieden. Wie würdet ihr die folgende Beziehung herleiten?

$\begin{eqnarray*} I=\int\limits_{0}^{\infty}\!\frac{f(ax)-f(bx)}x\dd x = \big(f(\infty)-f(0)\big) \ln\frac ab \end{eqnarray*}$

Mein unbedarfter Versuch würde wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} I=\int\limits_{0}^{\infty}\!\frac{f(ax)-f(bx)}x\dd x =\int\limits_{0}^{\infty}\!\frac 1x \Big[f(z)\Big]_{z=bx}^{z=ax}\dd x =\int\limits_0^\infty \frac 1x \int\limits_{bx}^{ax} f'(z)\dd z\dd x \end{eqnarray*}$

Ab hier substituiere ich die Integrationsvariabel des inneren Interals.

$\begin{eqnarray*} z=xt\qquad \dd z=x\dd t\qquad \frac zx=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\int\limits_0^\infty \frac 1{\bcancel{x}} \int\limits_{b}^{a} f'(xt)\bcancel{x}\dd t\dd x=\int\limits_b^a\int\limits_0^\infty f'(xt)\dd x\dd t=(b-a)\big(f(\infty)-f(0)\big) \end{eqnarray*}$

Und schon ist nicht das herausgekommen was herauskommen sollte. Was habe ich hier falsch gemacht? Wie würdet ihr diese Aufgabe am geschicktesten rechnen?

22.06.2024, 19:50

IfindU

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RE: Integralregel herleiten (maths 505)

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} \int\limits_b^a\int\limits_0^\infty f'(xt)\dd x\dd t=(b-a)\big(f(\infty)-f(0)\big) \end{eqnarray*}$

Sieht doch gut aus bis hier hin. Wenigstens formal. Rigoros braucht es natürlich jede weitere Annahmen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , damit es korrekt ist.

Beim letzten Schritt wäre mit der korrekten Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} \int\limits_b^a\int\limits_0^\infty f'(xt)\dd x\dd t \int\limits_b^a \Big[\frac 1 t f(xt)\Big]_{x=0}^{x=\infty} \dd t \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} \frac 1 t \end{eqnarray*}$ liefert dann den Logarithmus.

22.06.2024, 20:27

Ulrich Ruhnau

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RE: Integralregel herleiten (maths 505)
Na gut, dann sollte ich also noch einmal sorgfältig substituieren.
Ich gehe von

$\begin{eqnarray*} I=\int\limits_b^a\int\limits_0^\infty f'(xt)\dd x\dd t \end{eqnarray*}$

aus und substituiere wie folgt:

$\begin{eqnarray*} z = xt\qquad \dd z = t\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\int\limits_b^a\int\limits_0^\infty \frac{f'(z)}t\dd z\dd t=\int\limits_b^a \frac{f(\infty)-f(0)}t\dd t=\int\limits_b^a \big(f(\infty)-f(0)\big)\ln\frac ab \end{eqnarray*}$

Vielen Dank IfindU! Du hast mir sehr weiter geholfen. smile

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