Additionstheorem anwenden

23.06.2024, 10:35	D4NZOGA	Auf diesen Beitrag antworten »
Additionstheorem anwenden Hallo werte Forumsgemeinde, ich melde mich aufgrund eines Problems bei der Anwendung eines Additionstheorems. Die Aufgabe ist: Bestimmen Sie den Winkel 0 kleiner gleich a kleiner gleich 180 für den gilt: sin(a- 72°) = sin(a) Meine Rechnung: Es gilt: sin(a-b) = sin(a) * cos(b) - cos(a * sin(b) Also ist: sin(a) * cos(72°) - cos(a) * sin(72°) = sin(a) -> : sin(a) cos(72°) - cos(a) * sin(72°) = (sin(a) / sin(a) ) -> (sin(a) / sin(a) = 1 -> + cos(a) * sin(72°) cos(72°) = cos(a) * sin(72°) + 1 -> : sin(72°) cos(72°) / sin (72°) = cos(a) +1 -> cos(72°) / sin (72°) = cot (72°) cot (72°) = cos(a) +1 -> -1 cos(a) = cot (72°) -1 a = cos^-1 (cot (72°) -1) a = 132.460386563131 Die Gegenprobe liefert: Falsch Das Ergebnis ist -54, Im Sinne der Aufgabenstellung dann 180 - 54 = 126 und einen anderen Weg zur Berechnung über Ausklammern habe ich auch "ergoogelt". Aber was ist an meiner Rechnung verkehrt? Sicherlich habe ich ein Gesetz missachtet. :< Liebe Grüße!
23.06.2024, 11:35	nichteuerernst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additionstheorem anwenden Bei deinem Rechenbefehl : sin(a) hast du vergessen, dass auf der linken Seite auch der Teilterm cos(a) * sin(72°) durch sin(a) geteilt werden muss. Die Aufgabe hat überhaupt nichts mit Additionstheoremen zu tun (wenn man die Quadrantenbeziehungen kennt). Es gilt sin (90°+ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ )=sin (90°- $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ) (und der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} +\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -\phi \end{eqnarray}$ beträgt $\begin{eqnarray} 2\phi \end{eqnarray}$ ). In unserem Fall ist $\begin{eqnarray} 2\phi=72 \end{eqnarray}$ ° und demzufolge $\begin{eqnarray} \phi=36 \end{eqnarray}$ °. Die beidem Winkel mit dem gleichen Sinuswert, die sich um 72° unterscheiden sind also 90°+36° und 90°-36°. Demzufolge gilt $\begin{eqnarray} \alpha=126 \end{eqnarray}$ °.
23.06.2024, 16:23	D4NZOGA	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Additionstheorem anwenden Danke für die schnelle Antwort! Irgendwann sitzt man da echt vor so einer Aufgabe die man das 12. mal versucht neu anzugehen und übersieht die einfachsten Dinge... Ich bin froh, dass es sowas einfaches ist und ich nicht grundlegend falsch gedacht habe Dass ich die Additionstheoreme auch umgehen könnte habe ich schon geahnt, wollte es aber trotzdem in dem Beispiel einmal erfolgreich anwenden. Durch deine Erklärung bin ich da jetzt auch nochmal schlauer geworden. Danke!
23.06.2024, 22:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die goniometrische Gleichung $\begin{eqnarray} \sin (a - 72°) = \sin a \end{eqnarray}$ ist mittels der Beziehung $\begin{eqnarray} \sin a = \sin (180° - a) \end{eqnarray}$ direkt zu lösen: a - 72° = 180° - a --> a = 126° ===== Auch mittels des Additionstheorems ist der Lösungsweg interessant, es ergibt sich $\begin{eqnarray} \sin a \cos 72° - \cos a \sin 72° = \sin a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan a = \frac{\sin 72°}{\cos 72° - 1} = \frac{2 \sin 36° \cos 36°}{\cos^2 36° - \sin^2 36°- 1} = \ \ldots \ = -\cot 36° = \tan (-54° + n \cdot 180°) \end{eqnarray}$ Mit n = 1 igelangt man n den 2. Quadranten: a = 126° mY+
25.06.2024, 06:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein, d.h. unter Einbeziehung der Periode $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ der Sinusfunktion bedeutet Gleichung $\begin{eqnarray} \sin(f(a)) = \sin(g(a)) \end{eqnarray}$ , dass es eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f(a) = g(a)+2k\pi \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(a) = -g(a)+(2k+1)\pi \end{eqnarray}$ (statt $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kann man natürlich auch mit $\begin{eqnarray} 180^{\circ} \end{eqnarray}$ arbeiten, ist ja derselbe Winkel). Je nach $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ ist das dann aufzulösen. Im vorliegenden Fall besitzt die erste Variante $\begin{eqnarray} a-72^{\circ} = a+ 360^{\circ}\cdot k \end{eqnarray}$ offenkundig keine Lösung, die zweite $\begin{eqnarray} a-72^{\circ} = -a+ 180^{\circ}+360^{\circ}\cdot k \end{eqnarray}$ ergibt umgestellt $\begin{eqnarray} a = 126^{\circ}+180^{\circ}\cdot k \end{eqnarray}$ , und da liegt Lösung $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ im vorgegebenen Intervall $\begin{eqnarray} \left[0,180^{\circ}\right] \end{eqnarray}$ . Für das ähnliche Problem $\begin{eqnarray} \cos(f(a)) = \cos(g(a)) \end{eqnarray}$ bekommt man analog die beiden Lösungsscharen $\begin{eqnarray} f(a) = \pm g(a)+2k\pi \end{eqnarray}$ . Und das "gemischte" $\begin{eqnarray} \sin(f(a)) = \cos(g(a)) \end{eqnarray}$ kann man via $\begin{eqnarray} \cos\left(f(a)-\frac{\pi}{2}\right) = \cos(g(a)) \end{eqnarray}$ in jenes Problem überführen.

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