Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist.

23.06.2024, 17:49	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Hallo, Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Unterkörper von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Ich möchte zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} M := \left\{ \phi \in Aut(F) \, \| \, \phi(k) = k \, \text{für jedes } k \in K \right\} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} Aut(F) \end{eqnarray}$ ist. Hierbei ist $\begin{eqnarray} Aut(F) \end{eqnarray}$ die Menge der Ring Automorphismen von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Ich würde die Untergruppen Eigenschaft zeigen über (i) Die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist nicht leer. Betrachten wir $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \in K \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} M \neq \emptyset \end{eqnarray}$ , also nicht leer. (ii) Abgeschlossenheit. Wir müssen die Abgeschlossenheit bezüglich der Komposition von Funktionen zeigen. Seien $\begin{eqnarray} f,g \in M \end{eqnarray}$ , dann zeigen wir $\begin{eqnarray} f \circ g \in M \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} (f \circ g)(xy) = f(g(xy)) = f(g(x)g(y)) = f(xy) = f(x)f(y) = xy \end{eqnarray}$ . Also ist die Menge bezüglich der Operation $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ abgeschlossen. (iii) Neutrales Element. Wir betrachten $\begin{eqnarray} id_K : K \rightarrow K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} id_K(k) = k \end{eqnarray}$ , dann ist für $\begin{eqnarray} f \in M \end{eqnarray}$ sicherlich auch $\begin{eqnarray} f \circ id_K = id_K \circ f = f \end{eqnarray}$ . (iv) Inverses Element. Betrachten wir $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f^{-1} \circ f = id_k = f \circ f^{-1} \end{eqnarray}$ . Wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} \in M \end{eqnarray}$ ist. Das folgt aber daraus, dass $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Menge der Automorphismen (Isomorphismus auf die gleiche Struktur) ist, denn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist bijektiv, also exisitiert $\begin{eqnarray} f^{-1} \in M \end{eqnarray}$ . (v) Assoziativ. Wir zeigen $\begin{eqnarray} (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) \end{eqnarray}$ , das folgt aber bereits daraus, dass $\begin{eqnarray} Aut(F) \end{eqnarray}$ selbst assoziativ ist. Was haltet ihr von meinen Ansätzen? Vielen Dank!
23.06.2024, 19:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Überzeugt mich nicht. (i) Was soll das f(0)=0 hier bedeuten? Welcher Automorphismus soll das sein? Du musst doch ohnehin nachweisen, dass es ein neutrales Element gibt. Damit ist dann die Menge auch nicht leer. (ii) Warum betrachtest du xy? (iii) $\begin{eqnarray} id_K \end{eqnarray}$ ist kein Automorphismus von F (iv) Wo zeigst du, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ die Elemente von K fest lässt? Dass ein Automorphismus eine Inverse hat, ist trivial
23.06.2024, 19:50	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Hallo URL, danke für deine Antwort! Zu i. bei $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \end{eqnarray}$ habe ich an den Homomorphismus gedacht. Aber ja durch die Existenz eines neutralen Elements ist die Menge auch nicht leer. Ich wollte das hier nur schon vorab zeigen, dass $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ nicht leer ist. Zu ii. Gute Frage... Es würde doch auch reichen zu zeigen, wenn $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = x \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x) = x \end{eqnarray}$ , oder nicht, das entspricht doch der Abgeschlossenheit in diesem Fall? Zu iii. Geht es dir bei $\begin{eqnarray} id_K \end{eqnarray}$ um das $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ? Die identische Abbildung ist doch Teil von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ oder nicht? Zu iv. Wie kann man denn zeigen, dass $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ die Elemente fixiert?! Mein Vorschlag wäre, sei $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x) \end{eqnarray}$ Vielen Dank!
23.06.2024, 20:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. zu (i) Du hast aber leider überhaupt nichts gezeigt. Von welchem Homomorphismus redest du denn da? zu (ii) ja, das reicht zu (iii) $\begin{eqnarray} id_K \end{eqnarray}$ ist für mich die Identität auf K, also $\begin{eqnarray} id_K:K\to K \end{eqnarray}$ . Das ist kein Element von M zu (vI) $\begin{eqnarray} f^{-1}(x)=f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray}$
23.06.2024, 20:12	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Hey URL danke für deine Antworten! Zu (iii) dann wäre mein neuer Vorschlag an dieser Stelle $\begin{eqnarray} id_F : F \rightarrow F \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} id_F(x) = x \end{eqnarray}$ .
23.06.2024, 20:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Ja, natürlich und damit ist M nicht leer.
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23.06.2024, 20:14	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Danke, dann bin ich wieder auf Kurs!
23.06.2024, 20:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Menge eine Untergruppe ist. Prima!

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