Matrizenmultiplikation

24.06.2024, 13:04

etokil

Matrizenmultiplikation

Meine Frage:
Seien A,B,C reele Matrizen, A & C der Grösse (n x m) und B der Grösse (m x n). Hierbei ist die Nullmatrix in allen Fällen ausgeschlossen und A und C sind nicht zwingend invertierbar.

Falls A = ABA = ABC & C = CBC = CBA gilt,

folgt dann auch A = C ?

Ich hätte eine Beweisidee: Sei A = ABA = ABC & C = CBC = CBA.
Dann ist: A = ABA = AB(ABC) = (ABA)(BC) = (ABC)(BC) = A(BC)^2 &
C = CBC = CB(CBA) = (CB)^2 A.

Dann folgt C = (CB)^2 A = (CB)^2 A(BC)^2 = CBCB(ABC)BC = CBCB(A)BC = CB(CBA)BC = CB(C)BC = (CB)^2 C, also C = (CB)^2 C = (CB)^2 A => (CB)^2 = Einheitsmatrix => A = C.

Meine Ideen:
ist das richtig?

24.06.2024, 16:19

Elvis

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Gut gerechnet. Auch die Schlußfolgerung passt. Jetzt müsste man nur noch prüfen, ob für verschiedene m und n alle diese Produkte definiert sind. Die 3-er Produkte in der Voraussetzung sind definiert. Sind es auch alle weiteren Produkte im Beweis ?

Übrigens folgt schon aus der Voraussetzung AB=BA=BC=CB=I, so dass man den Beweis abkürzen kann.

24.06.2024, 17:15

HAL 9000

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RE: Matrizenmultiplikation
Womöglich bin ich heute etwas schwer von Begriff, aber diesen Schluss

Zitat:

Original von etokil
C = (CB)^2 C = (CB)^2 A => (CB)^2 = Einheitsmatrix

kann ich nicht nachvollziehen. unglücklich

24.06.2024, 18:28

Elvis

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C=(CB)^2 C=(CB)^2 A => C=(CB)^2 C => (CB)^2 = I
ist leicht einzusehen

24.06.2024, 19:27

IfindU

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Ich verstehe die Argumentation auch nicht. Ist schon $\begin{eqnarray*} m < n \end{eqnarray*}$ , so kann $\begin{eqnarray*} CB \end{eqnarray*}$ niemals vollen Rang haben. Und ohne weitere Annahmen an $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ wie "maximaler Rang" o.ä., wird die Aussage schwerlich wahr sein können. Dafür werden die Matrizenräume zu groß. Außer die handvoll von Gleichungen sind viel stärker als ich denke...

24.06.2024, 19:43

Elvis

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Dann habe ich wohl zu kurz geschlossen. Zunächst hatte ich gesagt, man sollte die Matrizen genauer betrachten, habe es aber nicht getan. Habe stattdessen geschlossen, dass jedes einseitig neutrales Element die Einheitsmatrix sei.

24.06.2024, 19:49

IfindU

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Wenn $\begin{eqnarray*} C = X C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ invertierbar (und also quadatrisch), dann ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix. Ist $\begin{eqnarray*} C =0 \end{eqnarray*}$ , kann $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ jede beliebige Matrix sein und $\begin{eqnarray*} C = XC \end{eqnarray*}$ ist dennoch erfüllt.

Und zwischen den Extremen von "Null" und "Invertierbar" liegen genug $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ etwas einzuschränken, aber nicht um es zwingend auf die Identität festzunageln.

25.06.2024, 15:15

etokil

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zur Sache
Ich habe ja Anfang A,B,C ≠ 0 gesagt, denn wenl eins Null ist, ist ja schon alles 0.
Wenn dann C = (CB)^2 C gilt, muss CB die Einheitslatrix sein

25.06.2024, 15:21

etokil

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Zur Sache
Hallo ich bedanke mich für Deine Antwort!
Ich bin jetzt bischen durcheinander. Also ich hatte am Anfang den Fall, das eine der drei Matrizen die Nullmatrix ist, ausgeschlossen. Falls das der Fall wäre, gelte ja schon die Gleichheit, da dann allle Matrizen 0 wären.
Nun hatte ich am Ende gefolgert C = (CB)^2 C. Nun definiere ich mal D := (CB)^2. Wir wissen jetzt, das D nicht 0 sein kann, da C und B von 0 verschieden sind. Nun soll aber C = DC sein, also muss doch D = I gelten… Andererseits wäre die Gleichheit unerfüllt.

25.06.2024, 15:54

IfindU

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RE: Zur Sache
Sagen wir du hast $\begin{eqnarray*} C = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Offenbar nicht die Nullmatrix. Aber es gilt $\begin{eqnarray*} C = DC \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist nicht die Einheitsmtarix.

Edit: Was gilt: $\begin{eqnarray*} C = DC \end{eqnarray*}$ für alle C, dann ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix. Aber nur für ein einzelnes $\begin{eqnarray*} C\neq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt es nur falls es eine $\begin{eqnarray*} 1\times 1 \end{eqnarray*}$ Matrix ist (also eine reelle Zahl).

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