Zeigen, dass f^{-1}(J) ein Primideal ist

02.07.2024, 08:32

KonverDiv

Zeigen, dass f^{-1}(J) ein Primideal ist

Hallo

,

Seien $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ Ringe und sei $\begin{eqnarray*} f : R \rightarrow S \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus, ich möchte zeigen, wenn $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ein Primideal in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ ein Primideal in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz, wir wissen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ein Homomorphismus i.e $\begin{eqnarray*} f(ab) = f(a) f(b) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ist ein Primideal, d.h. $\begin{eqnarray*} ab \in J \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} a \in J \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in J \end{eqnarray*}$ .

Ich zeige nun zunächst, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist, das ist aber schon dadurch gegeben, dass das Urbild eines Ideals bezüglich Ring-Homomorphismen ein Ideal ist.

Ich zeige nun, dass wenn $\begin{eqnarray*} ab \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ . Angenommen $\begin{eqnarray*} ab \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(ab) \in J \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist, haben wir $\begin{eqnarray*} f(a)f(b) \in J \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ein Primideal ist, folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} f(a) \in J \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(b) \in J \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt aber auch $\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ . Womit gezeigt ist, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ ein Primideal ist.

Geht das so? verwirrt

03.07.2024, 16:14

IfindU

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RE: Zeigen, dass f^{-1}(J) ein Primideal ist
Für mich sieht es grundsätzlich gut aus, aber ich bin kein Algebraiker.

Mehrere Punkte:
- Was sind $\begin{eqnarray*} R,S \end{eqnarray*}$ ? Kommutative Ringe? Etwas anderes?
- An der Stelle scheinen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ selbst Mengen zu sein:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ab \subset J \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} a \subset J \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \subset J \end{eqnarray*}$

An der Stelle sind es plötzlich Elemente:

Zitat:

Ich zeige nun, dass wenn $\begin{eqnarray*} ab \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \in f^{-1}(J) \end{eqnarray*}$

.
- In den Definitionen vom Primideal haben alle immer gefordert dass es ein echtes Ideal ist, d.h. nicht der ganze Ringe. Wenn das bei euch auch gefordert ist, musst du das natürlich auch zeigen.

03.07.2024, 16:23

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RE: Zeigen, dass f^{-1}(J) ein Primideal ist
Hallo @IfindU, danke für deine Antwort! Freude

Ich habe das oben noch etwas präzisiert und korrigiert, $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sind Ringe.

03.07.2024, 17:04

IfindU

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RE: Zeigen, dass f^{-1}(J) ein Primideal ist
Dann wäre noch der letzte Punkte: Sind bei dir Primideale "echt", im Sinne von $\begin{eqnarray*} J \neq S \end{eqnarray*}$ ? Oder ist das nicht gefordert?

Je nachdem wärst du fertig oder müsstest noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(J) \neq R \end{eqnarray*}$ .

04.07.2024, 08:23

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RE: Zeigen, dass f^{-1}(J) ein Primideal ist

Zitat:

Original von IfindU
Dann wäre noch der letzte Punkte: Sind bei dir Primideale "echt", im Sinne von $\begin{eqnarray*} J \neq S \end{eqnarray*}$ ? Oder ist das nicht gefordert?

Nein, das ist nicht gefordert.

Zitat:

Original von IfindU
Je nachdem wärst du fertig oder müsstest noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(J) \neq R \end{eqnarray*}$ .

Mich würde aber interessieren, wie man das zeigen kann.

04.07.2024, 08:47

Elvis

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Bei Ringen mit 1 ist f(1)=1. Damit lässt sich schon ausschließen, dass Primideale nicht echt sind. Ringe ohne 1...?

04.07.2024, 09:57

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Hallo @Elvis!

Zitat:

Original von Elvis
Bei Ringen mit 1 ist f(1)=1.

Ja, ist richtig!

Zitat:

Original von Elvis
Damit lässt sich schon ausschließen, dass Primideale nicht echt sind.

Das verstehe ich noch nicht ganz, kannst du das bitte weiter erklären? verwirrt

04.07.2024, 11:00

Elvis

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Ein Ideal $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ enthält, enthält wegen $\begin{eqnarray*} ra\in I(\forall r\in R,\forall a\in I) \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} r=r\cdot 1\in R \end{eqnarray*}$ , ist also $\begin{eqnarray*} I=R \end{eqnarray*}$ , also nicht echt.
Ergo sind Bilder echter Primideale echt und Urbilder echter Primideale ebenso.

Anmerkung: Einheiten sollen keine Primelemente sein, weil sonst keine eindeutige Primelementzerlegung in faktoriellen Ringen stattfindet. (https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorieller_Ring)

04.07.2024, 11:12

KonverDiv

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Hallo @Elvis, danke für deine Antwort, wie sieht das bei Ringen ohne 1 aus, dort funktioniert der Ansatz $\begin{eqnarray*} r = r \cdot 1 \in R \end{eqnarray*}$ ja nicht. Ich wüsste jetzt auch keine Möglichkeit dort $\begin{eqnarray*} I = R \end{eqnarray*}$ zu zeigen, weil die 1 fehlt. Ginge vermutlich nur, falls es eine Einheit im Ring gibt?

04.07.2024, 16:30

Elvis

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I=R ist immer ein Ideal, wei R ein Ring und abgeschlossen gegenüber der Multiplikation ist. Was dann mit Primidealen passiert, weiß ich auch nicht, weil mich solche Ringe nicht sonderlich interessieren.
(Ich habe zwar den Wolfgang Krull "Idealtheorie" Erlangen 1935 als Nachdruck von Chelsea Publishing Company 1948, antiquarisch beorgt, aber ich glaube nicht, dass ich mich da durchquälen möchte. Es gibt einfach zu viel Neues und Interessantes in der Mathematik.)

04.07.2024, 17:08

IfindU

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Für Ringe mit 1 hast du einen Beweis. Für Ringe ohne 1 (ich fasse es nicht, dass man die Rng nennt), stimmt die Aussage $\begin{eqnarray*} f^{-1}(J) \neq R \end{eqnarray*}$ vielleicht auch nicht einmal. Mir fehlt intuitives Verständnis von Primidealen, um eine gute Vorstellung davon zu haben. Du kannst dir ja mal überlegen wie ein Gegenbeispiel aussehen könnte (sofern es eins gibt -- und wenn nicht, dann siehst du an deinen Versuchen warum Versuche ein Gegenbeispiel zu konstruieren scheitern und es könnte dir Ideen geben wie du die Aussage beweisen kannst).

04.07.2024, 20:22

Elvis

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Auch Ringe ohne 1 muss man Ringe nennen. Alle Ideale eines Rings sind per def Teilringe, also Ringe. Alle echten Ideale $\begin{eqnarray*} m\mathbb Z<\mathbb Z, m\in\mathbb N,m>1 \end{eqnarray*}$ sind Ringe ohne 1. Ohne sie hätte nicht einmal C.F.Gauss die Kongruenzrechnung erfinden können.

05.07.2024, 05:53

Elvis

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Bei Gruppen ist das Urbild eines Normalteiler unter einem Homomorphismus ein Normalteiler. Bei Ringen spielen Ideale dieselbe Rolle wie Normalteiler bei Gruppen. Also ist es sehr plausibel, dass Urbilder von Idealen unter Homomorphismen Ideale sind. Der Beweis für Normalteiler findet sich bei Wikipedia, wenn man nach "Urbild Normalteiler" googelt.
Wer ein "Gefühl" für algebraische Strukturen entwickeln möchte, sollte sich immer mit dem Homomorphiesatz und den Isomorphiesaetzen beschäftigen - und Hasse-Diagramme zeichnen.

05.07.2024, 07:43

KonverDiv

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Hallo @Elvis, danke für deine Ausführungen zur Ringtheorie. Ich kenne auch (jetzt) den Zusammenhang zwischen Normaltiler bei Gruppen und Idealen bei Ringen.

Eine abschließende Frage, was hältst du denn von dem Beweis in dem ersten Beitrag? Ist dir dort noch etwas aufgefallen?

05.07.2024, 09:01

Elvis

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Nein, die Eigenschaft des Urbilds eines Primideal, prim zu sein, ist unbestreitbar. Leider funktioniert die Analogie von Normalteiler und Ideal vollständig nur für Ringe mit 1, weil Gruppen immer ein neutrales Element haben. Ich halte es zwar für plausibel, aber habe keinen Beweis, dass Urbilder von Idealen auch immer Ideale sind. Ringe sind doch erheblich komplizierter als Gruppen, deshalb unterscheiden wir in der Algebra viele Typen von Ringen mit zusätzlichen Eigenschaften und benutzen spezielle Ringe in speziellen algebraischen Theorien. (Meine absoluten Favoriten sind die Dedekindringe in der Zahlentheorie.)

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