Pythagoras-Tripel

04.07.2024, 08:39	wimbledonfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Pythagoras-Tripel Hallo zusammen Bei der Suche nach ein paar Knobeleien für die 9. Klasse bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, wo es heißt, dass die Zahl 2020 eine ganz besondere Zahl sei, weil man mit ihr pythagoreische Zahlentripel bilden kann. Als Aufgabe sollte man mindestens ein Tripel der Form (2020,y,z) finden. Mit irgendwelchen komplizierteren Konstruktions-Formeln würde ich erstmal nicht daher kommen, denn die Schüler sollen es sich ja möglichst einfach selbst erschließen. Ein meiner Meinung nach für einen durchschnittlich begabten Neuntklässler machbarer Weg wäre: Wenn man sich über 3² + 4² = 5² den Zusammenhang (3n)² + (4n)² = (5n)² für beliebige natürliche Zahlen n klarmacht, dann könnte man den Teiler 4 in 2020 erkennen und daraus mit n=505 ein passendes Tripel erzeugen. Ich weiß nicht ob ich das nur hinein interpretiere, aber die Art der Formulierung der Aufgabenstellung klingt für mich so, als wäre es besonders mit der Zahl 2020 so gut machbar. Ich erkenne jedoch da keine große Besonderheit, die vielleicht noch andere, einfache Zugänge zur Lösung zulässt. Wie sehr ihr das ?
04.07.2024, 09:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schauen wir uns zunächst mal die Primfaktorzerlegung des Kandidaten an: $\begin{eqnarray} 2020 = 2^2\cdot 5\cdot 101 \end{eqnarray}$ Primitive Pythagoräische Tripel haben die Struktur $\begin{eqnarray} \left(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2\right) \end{eqnarray}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray} u>v \end{eqnarray}$ , die nicht beide ungerade sind. Mit $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ multipliziert ergeben sich weitere (dann nicht primitive) Pythagoräische Tripel. Ok, du hast $\begin{eqnarray} u=2,v=1,n=505 \end{eqnarray}$ und damit Tripel (1515,2020,2525) genannt. Möglich wäre aber auch $\begin{eqnarray} u=51,v=50,n=20 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} (2020,102000,102020) \end{eqnarray}$ usw. Eine sportliche Herausforderung wäre, basierend auf der obigen Primfaktorzerlegung alle solchen Tripel mit Kathete 2020 zu finden. Lässt man die 2020 auch als Hypotenuse zu, werden es noch ein paar mehr Tripel. P.S.: Ich komme (ohne Gewähr) auf 14 Tripel mit 2020 als Kathete, und 3 weitere mit 2020 als Hypotenuse.
23.06.2025, 06:58	dalek	Auf diesen Beitrag antworten »
Um alle Tripel mit a = 2020 zu berechnen habe ich mir zwei Formeln hergeleitet. Insgesamt konnte ich damit 4 primitive und 9 nicht primitive Tripel generieren. (Lösungsweg siehe Anlage) Ich bin mir relativ sicher, dass für a = 2020 nur 13 pythagoreische Tripel existieren. Falls noch ein weiteres Tripel existiert, muss ich meinen Algo überarbeiten. $\begin{eqnarray} a = Pn \cdot 2^i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = \frac{\left( \left(P_n \cdot 2^i \right)^2 / \left( P_f^2 \cdot 2 \right) + P_f^2 \cdot 2 \right)}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = c - P_f^2 \cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = Pn \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = \frac{\left( P_n^2 \; / \;P_f^2 + P_f^2\; \right)}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = c - P_f^2 \end{eqnarray}$
23.06.2025, 07:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast mich erwischt: Es sind tatsächlich nur 13 Tripel mit 2020 als Kathete. Auch bei den Tripeln mit 2020 als Hypotenuse habe ich mich verzählt: Da gibt es 4 Tripel (statt der oben angegebenen 3). 400,1980,2020 868,1824,2020 1344,1508,2020 1212,1616,2020

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