Gerade soll Ellipse berühren

06.07.2024, 18:42

mwxte

Gerade soll Ellipse berühren

Meine Frage:
Ich verzweifel gerade an der Aufgabe und hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen.
Die Aufgabe lautet: Kann der Parameter b so gewählt werden, damit die Gerade y= -2/3x + 4 * Wurzel 2 die Ellipse x^2/36 + y^2/b^2 =1 berührt?

Meine Ideen:
Die Bedingungen für einen Berührpunkt sind eigentlich klar:
f'T(x)=f'E(x) u. fT(xB)=fE(xB)
Mein Ansatz war entweder die Funktion der Geraden in die Ellipsengleichung einzusetzen, um dann nach x aufzulösen und die Diskriminante 0 zu setzen, da es bei einem Berührpunkt nur eine bzw. eine doppelte Lösung geben kann.
Der andere Weg wäre die Ellipsengleichung nach y aufzulösen um die Funktionen dann gleichzusetzen.
In beiden Fällen komme ich leider zu keinem Ergebnis, da die Gleichung viel zu kompliziert wird oder weil ich mich beim umstellen umstellen einfach ungeschickt anstelle.

06.07.2024, 19:55

klauss

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RE: Gerade soll Ellipse berühren
Der zweite Weg führt durchaus zum Erfolg - löst sich am Schluß schön auf und liefert eine ganzzahlige Lösung.
Natürlich ist als Funktion nur die obere Hälfte der Ellipse zu betrachten. Und man muß sich bei den Gleichungsumformungen etwas konzentrieren. Ich habe mich im ersten Durchgang auch verrechnet.

[attach]57853[/attach]

06.07.2024, 23:03

euro24

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Zitat:

Die Aufgabe lautet: Kann der Parameter b so gewählt werden, damit die Gerade y= -2/3x + 4 * Wurzel 2 die Ellipse x^2/36 + y^2/b^2 =1 berührt?

Da in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist, dass man den konkreten Berührpunkt oder einen passenden Wert für b bestimmen soll (und dies zudem recht aufwändig ist), wäre nach meinem Empfinden auch eine Argumentation über die Lage der Ellipse in Kombination mit der Nullstelle der Geraden denkbar.

An der obigen Ellipsengleichung sieht man wegen 36=6² direkt, dass die Achsenabschnitte auf der x-Achse fest bei x=- 6 bzw. x=6 liegen und damit a=6 gilt.
Die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ der Geraden ist leicht zu berechnen und man erkennt sofort, dass $\begin{eqnarray*} x_N=6 \cdot \sqrt{2}>a=6 \end{eqnarray*}$ gilt und sie demnach außerhalb der Ellipse liegt.

Da für die fallende Gerade zu g(x) für x<0 stets g(x)>0 gilt und sie somit nicht im 3. Quadranten verläuft, bleibt nur der 1. Quadrant für mögliche negative Ellipsensteigungen.

Der Wertebereich für die Steigung eines jeden Ellipsenviertels im 1. Quadranten (Mittelpunkt im Ursprung) liegt bei $\begin{eqnarray*} \left(- \infty;0\right] \end{eqnarray*}$
Je nach Lage der Geraden kann man analog für jeden Quadranten argumentieren.

Im Grunde ist die Steigung der Geraden aber - wie man auch intuitiv leicht einsieht - unerheblich.
Es kommt hier einzig und allein auf die Lage der Nullstellen an, um zu entscheiden, ob eine Berührung möglich ist.

07.07.2024, 11:16

Leopold

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Zitat:

Original von euro24
Es kommt hier einzig und allein auf die Lage der Nullstellen an, um zu entscheiden, ob eine Berührung möglich ist.

Ich muß dir recht geben, daß die Formulierung

Zitat:

Original von mwxte
Kann der Parameter b so gewählt werden, damit die Gerade ... die Ellipse ... berührt?

nur nach der Existenz eines geeigneten Parameters fragt. Ich glaube aber, daß das nicht so gemeint ist. Die Aufgabe ist nur grottenschlecht formuliert. Vielleicht hätte es besser so geheißen:

Man bestimme den Parameter b>0 so, daß die Gerade die Ellipse berührt.

Ich will eine Lösung vorschlagen, die mit Hilfe einer linearen Abbildung das Problem auf eine Kreisberührung zurückführt. Ich behaupte nicht, daß die Lösung kürzer als bei andern Vorschlägen ist. Sie enthält nur andere Lösungsgedanken.

Gehen wir also davon aus, daß $\begin{align*} b>0 \end{align*}$ so gewählt ist, daß die Gerade die Ellipse berührt. Wir unterwerfen die Konstellation einer linearen Abbildung:

$\begin{align*} \left( x,y \right) \mapsto \left( x , \frac{6}{b} y \right) \mapsto \left( \frac{x}{6} , \frac{y}{b} \right) \end{align*}$

Im ersten Schritt geht die Ellipse in einen Kreis vom Radius 6 über, der im zweiten Schritt auf den Einheitskreis zusammengezogen wird. Um die Bildgerade unter dieser Abbildung zu erhalten, ist in der Geradengleichung $\begin{align*} x \end{align*}$ durch $\begin{align*} 6x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ durch $\begin{align*} by \end{align*}$ zu substituieren: $\begin{align*} by = - \frac{2}{3} \cdot 6x + 4 \sqrt{2} \end{align*}$ , nach $\begin{align*} y \end{align*}$ aufgelöst:

$\begin{align*} y = \frac{4}{b} \left( \sqrt{2} - x \right) \end{align*}$

Diese Gerade berührt nun den Einheitskreis:

$\begin{align*} x^2 + y^2 = 1 \end{align*}$

Und sie steht senkrecht auf der Ursprungsgeraden durch den Berührungspunkt mit dem Kreis (Kreistangente steht senkrecht auf dem Berührungspunktradius). Diese hat die Gleichung

$\begin{align*} y = \frac{b}{4} x \end{align*}$

Für den Schnitt der beiden Geraden setzen wir die Funktionsterme gleich:

$\begin{align*} \frac{b}{4} x = \frac{4}{b} \left( \sqrt{2} - x \right) \end{align*}$

$\begin{align*} x = \frac{16 \sqrt{2}}{16+b^2} \end{align*}$

Und dazu gehört

$\begin{align*} y = \frac{b}{4} \cdot \frac{16 \sqrt{2}}{16+b^2} = \frac{4 \sqrt{2} \, b}{16+b^2} \end{align*}$

Da der Geradenschnitt der Berührungspunkt der Tangenten mit dem Kreis ist, liegt er auf dem Kreis:

$\begin{align*} \left( \frac{16 \sqrt{2}}{16+b^2} \right)^2 + \left( \frac{4 \sqrt{2} \, b}{16+b^2} \right)^2 = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{512}{\left( 16 + b^2 \right)^2} + \frac{32 b^2}{\left( 16 + b^2 \right)^2} = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{32 \left( 16 + b^2 \right)}{\left( 16 + b^2 \right)^2} = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{32}{16 + b^2} = 1 \end{align*}$

Die einzige positive Lösung dieser Gleichung ist offensichtlich $\begin{align*} b = 4 \end{align*}$ .

07.07.2024, 13:56

mwxte

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Ab -1/2x + 4 Wurzel (2)= + Wurzel (b^2 - x^2*b^2/36) komme ich leider nicht weiter, könntest du mir deine Rechnung zeigen?

07.07.2024, 14:17

mYthos

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Dieses Ding kann schnell und effizient mittels der Berührbedingung*, die in jeder Formelsammlung zu finden ist, erledigt werden.

$\begin{eqnarray*} a^2k^2 + b^2 = d^2 \ \text{für die Mittelpunkts-Ellipse a, b und die Gerade y = kx + d}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2k^2 + b^2 = d^2 \end{eqnarray*}$ , hiermit ist (mit $\begin{eqnarray*} k = -\frac 2 3; \ d = 4 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} 36 \cdot \frac 4 9 + b^2 = 32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2 = 16 \end{eqnarray*}$

(*) Sie erfolgt aus dem Nullsetzen der Diskriminante beim allgemeinen Geradenschnitt mit der Ellipse

Beim Kreis heißt sie übrigens: $\begin{eqnarray*} r^2(k^2+1)=d^2 \end{eqnarray*}$ (das kann auch aus der HNF abgeleitet werden)

mY+

07.07.2024, 15:18

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von mwxte
Ab -1/2x + 4 Wurzel (2)= + Wurzel (b^2 - x^2*b^2/36) komme ich leider nicht weiter

Es sollte vorn -2/3x heißen. Nun quadriere auf beiden Seiten.

Viele Grüße
Steffen

08.07.2024, 00:44

euro24

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Zitat:

Der andere Weg wäre die Ellipsengleichung nach y aufzulösen um die Funktionen dann gleichzusetzen

Möglich, aber warum sollte man Wurzelterme erzeugen, wenn es vermeidbar ist ?

Zitat:

die Funktion der Geraden in die Ellipsengleichung einzusetzen, um dann nach x aufzulösen und die Diskriminante 0 zu setzen

Damit du mal etwas weiterkommst, hier ein paar erste Schritte für deine geplante Ochsentour:

$\begin{eqnarray*} y^2=(-\frac{2}{3}x+4 \cdot \sqrt{2})^2=\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot x+32 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{36}+\frac{\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot x+32}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2x^2+36 \cdot (\frac{4}{9}x^2-\frac{16}{3} \cdot \sqrt{2} \cdot x+32)=36b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b^2+16)x^2-192 \cdot \sqrt{2} \cdot x+1152-36b^2=0 \end{eqnarray*}$

Ein paar Anmerkungen noch :

1.) Ich würde stets empfehlen nur das zu tun, was in der Aufgabenstellung steht. Bei einem unverhältnismäßig großen Mehraufwand kann es ggf. Zeitprobleme in einer Klassenarbeit geben. Falls die Aufgabe tatsächlich anders gemeint war, dann ist das nicht das Problem des Schülers.

2.) Ich bezweifle zwar stark, dass die von mythos erwähnte Berührbedingung in jeder Formelsammlung zu finden ist.
Auch Google liefert bei mir zumindest eher Links von österreichischen Webseiten zu dem Thema.
Nichtsdestotrotz erleichtert es die Bestimmung des b-Wertes immens und macht die Aufgabe damit etwas überspitzt formuliert eigentlich zu einem Treppenwitz, da man somit nicht mal 1 Minute lang beschäftigt ist.
Selbst wenn keine Formelsammlungen erlaubt sind, empfiehlt es sich den Zusammenhang im Unterricht herzuleiten, damit erspart man sich vermutlich sehr viel Lebenszeit für weitere Aufgabenstellungen in dem Stil.

08.07.2024, 08:10

Ulrich Ruhnau

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RE: Gerade soll Ellipse berühren

Zitat:

verbessertes Original von mwxte
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet: Kann der Parameter b so gewählt werden, damit die Gerade $\begin{eqnarray*} y= -\frac23x + 4 \sqrt2 \end{eqnarray*}$ die Ellipse $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{b^2} =1 \end{eqnarray*}$ berührt?

Vielleicht ist mein Weg etwas einfacher. Ich leite einfach die Ellipsengleichung nach x ab , um so die Steigung ( $\begin{eqnarray*} y'=-\frac23 \end{eqnarray*}$ ) der Ellipse im Berührpunkt festzulegen, die der der Geraden entsprechen muß. Aus

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{b^2} =1 \end{eqnarray*}$ wird durch Ableiten nach x:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{18} + \frac{2yy'}{b^2} =0 \end{eqnarray*}$ Wenn man hier $\begin{eqnarray*} y'=-\frac23 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann kommt man auf eine Gleichung für eine neue Gerade, die durch den Ursprung und den gesuchten Berührpunkt geht.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{18} + \frac{2y}{b^2}\cdot\left(-\frac23\right) =0 \end{eqnarray*}$ Hier ist nur noch zu ermitteln, wo diese Gerade die andere Gerade $\begin{eqnarray*} y= -\frac23x + 4 \sqrt2 \end{eqnarray*}$ schneidet. Die so gefundenen Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind Funktionen nur noch von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und müssen in die Ellipsengleichung eingesetzt werden. Das sollte den gesuchten Parameter $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ festlegen.

08.07.2024, 08:39

Elvis

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Wenn die Frage lautet "Kann der Parameter b so gewählt werden, damit ...", dann lautet die Antwort "ja". Augenzwinkern

Bearbeitungsdauer ca. eine Sekunde.

09.07.2024, 13:35

mYthos

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Jedenfalls kann auch die Kenntnis der kleinen Halbachse der Ellipse von Interesse sein.
Links für die Berührbedingung:

Berührbedingung Ellipse
https://www.maths2mind.com/schluesselwoe...dingung-ellipse

Ein lehrreicher Workshop über Kegelschnitte (PDF):
https://www.mathe-online.at/materialien/...gelschnitte.pdf

und schließlich

Berührbedingung Ellipse (Herleitung)
http://www.matkit.at/dateien/schul/mathe...ellipse_3.0.pdf
(Die Herleitung)

$\begin{eqnarray*} b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = kx + d \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} (b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kdx + a^2d^2 - a^2b^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Diskriminante D = 0

$\begin{eqnarray*} 4a^4k^2d^2 - 4a^2b^2d^2 - 4a^4k^2d^2 + 4a^2b^4 + 4a^4b^2k^2 = 0 \end{eqnarray*}$ | Reduzieren und Division durch $\begin{eqnarray*} 4a^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2k^2 + b^2 = d^2 \end{eqnarray*}$
===========

NB: Hyperbel, Parabel und Kreis gehen ganz ähnlich.

mY+

09.07.2024, 14:02

mYthos

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Berührbedingung beim Kreis
Beim Kreis nützt man die Tatsache, dass der Normalabstand des Mittelpunktes von der Geraden gleich dem Kreisradius ist:

$\begin{eqnarray*} y = kx + d \end{eqnarray*}$ .. Tangente

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{kx-y+d}{\sqrt{k^2 + 1}}\right| = r \end{eqnarray*}$ .. HNF der Geradengleichung, Betrag des Normalabstandes von M(x,y) = r

$\begin{eqnarray*} M(0; 0) \ \to \ r^2(k^2 + 1) = d^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M(m; n) \ \to \ r^2(k^2 + 1) = (km - n + d)^2 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------------------------

Natürgemäß ist die Anwendung dieser Beziehungen dann sinnvoll, wenn es a priori nicht um den Berührungspunkt geht.

Ist dieser bekannt, dann rechnet man mit der Spaltform(*) der Tangentengleichung.
Handelt es sich um den Schnittpunkt zweier Tangenten (Pol), so ist die mittels der Spaltform errechnete Gerade die Verbindungslinie (Polare) beider Berührungspunkte, bezüglich dieses Pols.

(*)
https://c.wgr.de/f/emailing/files/WMW-2552-092_16788.pdf

https://www.mathe-online.at/materialien/...engleichung.pdf

mY+

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