Grenzwertbestimmung CLT Lyapunov

07.07.2024, 23:43	Zanji	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung CLT Lyapunov Hallo zusammen, Gegeben $\begin{eqnarray} X_k, k=1,2,... \end{eqnarray}$ sind gleichverteilt auf [0,k] soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{4\sum_{k=1}^nX_k -n^2}{n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ in Verteilung konvergiert und die Grenzverteilung bestimmen. Es ist $\begin{eqnarray} \mathbb E(X_k)=\frac{k}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(X_k)=\frac{1}{3k^2} \end{eqnarray}$ Ich suche Denkanreize um das benötigte Dreiecksschema konstruieren zu können. $\begin{eqnarray} \mathbb E(\frac{4\sum_{k=1}^nX_k -n^2}{n^{\frac{3}{2}}})=\frac{n(n+1)-n^2}{n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ geht gegen 0. $\begin{eqnarray} Var(\frac{4\sum_{k=1}^nX_k -n^2}{n^{\frac{3}{2}}})=\frac{16\sum Var(X_k)}{n^3} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \sum VarX_k =\pi^2/6 \end{eqnarray*}$ geht dann die obige Varianz auch gegen 0 und das ding konvergiert gegen die Dirac Verteilung? das macht eigentlich keinen Sinnn... Ich suche Denkanstöße vielen Dank!
08.07.2024, 09:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sehe ich schon mal einen gravierenden Fehler: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}\left(X_k\right) = \frac{k^2}{12} \end{eqnarray}$ . Geht man dabei gemäß https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem (Lyapunov CLT) vor, so bekommt man zumächst $\begin{eqnarray} s_n^2 = \sum_{k=1}^n \operatorname{Var}\left(X_k\right) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{72} \end{eqnarray}$ . Versuchen wir zunächst die Lyapunov-Bedingung mit $\begin{eqnarray} \delta=1 \end{eqnarray}$ zu checken, dann ist $\begin{eqnarray} E\left\|X_k-\frac{k}{2}\right\|^3 = \frac{2}{k} \int\limits_0^{\frac{k}{2}} x^3 ~ \dd x = \frac{k^3}{32} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n E\left\|X_k-\frac{k}{2}\right\|^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{128} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{s_n^3} \sum_{k=1}^n E\left\|X_k-\frac{k}{2}\right\|^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{128} \cdot \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{72} \right)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ Nun, das scheint zu reichen, denn das konvergiert gegen Null. Somit konvergiert $\begin{eqnarray} Z_n:=\frac{4\sum_{k=1}^n X_k - n(n+1)}{\sqrt{\frac{2n(n+1)(2n+1)}{9}}} \end{eqnarray}$ in Verteilung gegen $\begin{eqnarray} \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} Y_n := \frac{4\sum_{k=1}^n X_k - n^2}{n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ besteht folgender Zusammenhang zu $\begin{eqnarray} Z_n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} Y_n \cdot n^{\frac{3}{2}} = Z_n\cdot \sqrt{\frac{2n(n+1)(2n+1)}{9}} + n \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} Y_n = Z_n\cdot \frac{2}{3} \sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{2n}\right)} + \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ Daraus kann man nun Schlüsse ziehen für die Grenzverteilung der Folge $\begin{eqnarray} \left(Y_n\right) \end{eqnarray}$ . EDIT (15.7.): Anscheinend ist das Interesse erloschen - schade eigentlich.

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