Integral von 1/f

08.07.2024, 16:17	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von 1/f Hallo Da ich nun endlich Zeit habe, mich mit nicht-Prothschen Themen zu beschäftigen, habe ich mir folgende Frage gestellt: Für welche Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \int\frac{1}{f} = \frac{1}{\int f} \end{eqnarray}$ ? Ich dachte, bleiben wir erstmal bei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Allerdings weiß ich wirklich keinen Ansatz, wie ich das mal zeigen könnte. Selbst für die konstante Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto c\in\mathbb R \end{eqnarray}$ klappt es schonmal nicht, denn dort erhalte ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{c}x \neq \frac{1}{cx} \end{eqnarray}$ . Aber wie könnte man hier (analytisch) rangehen?
08.07.2024, 16:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Angesichts möglicher Integrationskonstantem bei beiden unbestimmten (!) Integralen ist das ganze eine heikle Formulierung. De facto suchst du Funktionen $\begin{eqnarray} F,G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G(x) = \frac{1}{F(x)} \end{eqnarray}$ und ebenso $\begin{eqnarray} G'(x) = \frac{1}{F'(x)} \end{eqnarray}$ Ersteres abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray} G'(x) = -\frac{F'(x)}{(F(x))^2} \end{eqnarray}$ , das führt zur Forderung $\begin{eqnarray} -\frac{F'(x)}{(F(x))^2} \stackrel{?}{=} \frac{1}{F'(x)} \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} (F(x))^2+(F'(x))^2 \stackrel{?}{=} 0 \end{eqnarray}$ . Letzteres erfüllt nur die Nullfunktion, und die scheidet wiederum beim Originalproblem (und den meisten Umstellungen) aus.
08.07.2024, 16:34	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
HAL, vielen Dank für diese schnelle und vor allem aufschlussreiche Antwort!
08.07.2024, 16:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersetzt man die erste Forderung durch $\begin{eqnarray} G(x) = -\frac{1}{F(x)} \end{eqnarray}$ , so findet man immerhin die beiden Lösungsscharen $\begin{eqnarray} F(x) = Ce^{\pm x} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} C\neq 0 \end{eqnarray}$ .

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