Axiomatische und naive Mengenlehre |
| 10.07.2024, 18:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Axiomatische und naive Mengenlehre Ich schaffe es nicht einmal, das kindgerechte Beispiel Hund,Katze,Maus als Menge zu begreifen. Ich habe es versucht mit , indem ich 1 durch Hund, 2 durch Katze und 3 durch Maus ersetze. Abraham Fraenkel hat das Ersetzungsschema 1922 eingeführt : "Ist M eine Menge und wird jedes Element von M durch ein 'Ding des Bereiches B' ersetzt, so geht M wiederum in eine Menge über." Leider haben Hund, Katze, Maus keine Elemente, wären sie Mengen, so wären sie nach dem Extensionalitätsaxiom also gleich der leeren Menge, woraus folgt Hund,Katze,Maus, was nun gar nicht im Sinne des Erfinders ist. Wie kann die (axiomatische) Mengenlehre als Grundlage der Mathematik angesehen werden, wenn ich es nicht schaffe, algebraische Strukturen wie Gruppen oder Vektorräume als Mengen aufzufassen, weil Gruppenelemente und Vektoren überaus nützliche Dinge aber keine Mengen sind. Naiv gesehen ging das immer prima, weil ich die Gesamtheit von Dingen nach dem cantorschen Komprehensionsschema als Menge verstanden habe. |
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| 12.07.2024, 09:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn es mir niemand erklären kann, dann erkäre ich es mir selbst. "Unter dem Begriff „Punktmenge“ versteht man eine Menge von Punkten, die alle eine ganz bestimmte Eigenschaft haben." (http://www.andiraez.ch/schule/DossierPun...undDreiecke.pdf) Unter dem Begriff "Hund" verstehe ich analog die Menge seiner Elementarteilchen. Diese Elementarteilchen haben die ganz bestimmte Eigenschaft, Elemente des Hundes zu sein (jedenfalls zu einem bestimmten Zeitpunkt t). Ist das jetzt "naive" Mengenlehre ? Ist das mit einer axiomatischen Mengenlehre verträglich ? Wenn ja, warum ? Wenn nein, warum nicht ? |
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| 13.07.2024, 07:46 | G130724 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hund, Katze, Maus sind Oberbegriffe bzw. Gattungsbegriffe, wie schon festgestellt. Hund meint alle möglichen Ausprägungsformen von Hund. Die Frage ist: Macht es Sinn, Oberbegriffe als Elemente einer Menge zu verwenden, die ja wieder für Mengen stehen? Wenn, dann nur als Menge, die als Oberbegriffsmenge definiert ist. M wäre dann Teilmenge aller Oberbegriffsmengen. Vlt. muss man den Mengenbegriff enger/ extrem eng fassen und bestimmte Probleme von vornherein ausschließen. Möglicherweise gerät man dabei an sprachliche Grenzen und in ein Definitionsdilemma, Regressus-ad-infinitum-Problem. |
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| 13.07.2024, 09:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, ich habe ein Missverständnis provoziert. Mit Hund, Katze, Maus meine ich nicht den Begriff sondern je ein spezielles Exemplar der Gattung. Ich komme immer mehr zu der Überzeugung, dass die Mengenlehre für die Mathematik und nur für die Mathematik tauglich ist. Das könnte einer der Gründe sein, warum die Einführung der Mengenlehre in den Grundschulen misslungen ist. Die axiomatischen Mengenlehren sind sehr kompliziert, vermutlich sogar komplex, und die naive Mengenlehre ist inkonsistent und unbrauchbar. Korrektur und Rettung der schulischen naiven Mengenlehre : ist keine Menge sondern eine echte Klasse. Für jede Menge ist die Elementrelation auf . Die Elementarteilchen einer Maus kann man als nichtleere disjunkte Mengen auffassen, für die gilt, und die wirkliche Welt ist wieder in Ordnung. |
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| 13.07.2024, 10:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im von mir überaus geschätzten Büchlein Erich Kamke, Mengenlehre (Sammlung Göschen, Walter de Gruyter, 1971) das sich ganz auf den naiven Cantorschen Mengenbegriff stützt, heißt es gleich auf der zweiten Seite der Einführung zur bekannten Beschreibung einer Menge durch Cantor: Was die "wohlunterschiedenen Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens" betrifft, von denen in der obigen Erklärung die Rede ist, so werden sie keineswegs so phantastische Dinge wie die Gedanken Caesars oder die Träume eines Menschen sondern mathematische Objekte sein, wie sie schon bei den obigen Beispielen auftraten oder sich aus solchen aufbauen lassen. Und als Beispiele waren zuvor die Menge der Primzahlen zwischen 1 und 100, die Menge der geraden (natürlichen oder ganzen?) Zahlen, die Eckpunkte eines Quadrats, die Punkte eines Kreises genannt worden. Und selbst bei diesen Mengen ist im Einzelfall zu fragen, was gemeint ist. Wenn man von den Eckpunkten eines Quadrats redet, ist dann ein spezielles Quadrat in der euklidischen Ebene oder ein Quadrat als Ähnlichkeitsklasse aller denkbaren Quadrate gemeint? Der naive Mengenbegriff wird durch Cantors "schwammige" Erklärung nur umrundet, erst bei der konkreten Arbeit mit Mengen versteht man, was damit gemeint ist. |
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| 13.07.2024, 10:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. Offenbar kann man gar nicht lange genug darüber nachdenken, bevor man etwas genauer begreift, was auf den ersten Blick trivial erscheint. |
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| 13.07.2024, 12:02 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst zwar ein Kaninchen in Elementarteilchen teilen, aber dann ist es kein Kaninchen mehr. Ein mathematisches Kaninchen ist quasi ein Elementarteilchen. Oder so ... |
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| 13.07.2024, 18:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Mengenlehre ist die Lehre von Mengen. Eine Menge zerfällt nicht in Elemente sondern enthält Elemente und wird eindeutig durch ihre Elemente bestimmt. Wenn mein zauberhaftes Kaninchen eine nichtleere Menge sein soll, muss es Elemente enthalten. Elementarteilchen bieten sich einerseits an, weil "Element" ein Wortbestandteil von "Elementarteichen" ist. Andererseits sind physikalische Elementarteilchen Quanten (was immer das sein mag), Punktwege in der Raumzeit (Heisenberg) oder Wellenfunktionen (Schrödinger), und damit sind sie mathematische Objekte, die sich zweifellos als Mengen beschreiben lassen. Teilmengen des Kaninchens enthalten dann ebenfalls Elementarteilchen, und in der Potenzmenge des Kaninchens findet der Biologe Körperteile und Organe wieder. Eine mathematische Beschreibung des von dir postulierten Elementarteilchens Kaninchen kenne ich nicht. Außerdem waren Tiere nur ein Beispiel für Elemente einer Menge, die physikalische Objekte enthalten soll. Wenn jedes physikalische Objekt als elementar angesehen werden soll, dann ist jede Teilmenge des Universums elementar. Eine solche Theorie hätte Demokrit und seine Nachfolger vermutlich nicht sonderlich beeindruckt. |
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| 24.07.2024, 17:05 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine weitere Idee, die ich heute hatte, habe ich soeben wieder verworfen. Ich dachte, dass die Menge Hund z.B. die Elemente Kopf, Hals, Körper, Beine, Schwanz enthalten könnte. Jeder Körperteil wäre eine Menge von Elementarteilchen, das wäre gut. Jedes Element wäre eine Teilmenge der Menge Hund, also wäre Hund sogar eine transitive Menge, was mir auch gut gefallen hat. Weil Elementarteilchen keine Mengen sind, wäre Hund keine Ordinalzahl, das wäre dann auch zu viel des guten und war nicht zu erwarten. Leider widerspricht diese Idee dem Extensionsalitätsaxiom, denn man könnte sonst die Menge Hund={Kopf,Hund\Kopf}={Hund\Schwanz, Schwanz} auf verschiedene Arten beschreiben. |
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| 24.07.2024, 19:21 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Menge {0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2} ist ja gleich {0, 1, 2}, oder? Demnach würde die Menge "Hund" nur aus einem up- und einem down-Quark und einem Elektron bestehen. Evtl. könnte man noch ein Photon dazu nehmen. Die Menge "Katze" wäre dann genau gleich "Hund". |
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| 24.07.2024, 21:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erklärt nicht den kleinen Unterschied zwischen einem Hund und einer Katze, der eine objektive Tatsache in der Welt ist. Zwar sind im Standardmodell der Teilchenphysik zwei gleiche Elementarteilchen identisch, zwei verschiedene Fermionen müssen sich allerdings immer in einem Quantenzustand unterscheiden (sagt Pauli). Als Elemente von Struppi und/oder Zelda unterscheidet man sie als verschiedene Wege in der Raumzeit mit jeweils unterschiedlichen Quantenzuständen. "Weg" ist dabei nicht als stetig anzunehmen, da immer mit Quantensprüngen zu rechnen ist. Nur so wird die Gesamtheit von Elementarteilchen zu einer bellenden oder schnurrenden Menge, die seine oder ihre Häufchen im Garten und auf dem Teppich hinterlässt. ("Nur so" gilt so lange bis jemand eine bessere Erklärung hat.) |
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| 08.09.2024, 01:46 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man definiert einfach: Hund := und die anderen Tiere entsprechend als Mengen der leeren Menge usw.usf. So kann man unsere alltägliche Welt komplett „vermengen“. |
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| 08.09.2024, 11:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass alle Tiere leere Mengen sind, kann nicht sein, weil daraus Elvis = = Pippen folgt. Das ist ein Widerspruch zu der empirisch wahren Aussage Elvis Pippen. Da die leere Menge keine Elemente enthält, können Tiere auch keine Elemente der leeren Menge sein. Oder meinst du mit "Mengen der leeren Menge usw.usf." noch etwas anderes? |
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| 08.09.2024, 15:45 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte mir das so, dass wir zB einfach definieren: Elvis := {} Pippen := {{}} Elvis‘ Hund := {{{}}} … Damit könntest du ganz alltägliche Mengen wie {Elvis, Pippen, Elvis‘ Hund} letztendlich doch durch ZFC beschreiben. Es ist nur eine Frage, als was man die leere Menge und deren verschachtelte Mengen definiert. Ein Mathematiker sagt eben 0 := {}, ein Gärtner Grashalm := {}, ein Militär definiert Soldat := {} usw. usf. |
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| 08.09.2024, 17:04 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das geht am Problem vorbei, weil ich nicht meinen Hund als beliebige Menge definieren kann. Eine beliebige Menge wie die von dir gewählte kann nicht bellen und sieht auch nicht aus wie mein Hund. Es genügt in dieser Welt nicht, einer simplen Menge den Namen eines real existierenden Subjekts zu geben. Namensgleichheit ist nicht Mengengleichheit, die letztere wird durch das Extensionsalitätsaxiom definiert. |
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| 08.09.2024, 19:00 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum soll das nicht funktionieren? Ein Mathematiker definiert zB 0 := {} 1 := {{}} 2 := {{{}}} … Das klappt hervorragend. Jetzt nimmst du die x-vielen Gegenstände der Welt und codierst sie als Menge der Menge der … der leeren Menge. Damit hat du die Menge aller Dinge in der Welt und du kannst damit gewisse Operationen ausüben. Natürlich ist das nur ein Modell der echten Welt mit echten Hunden usw., aber ZFC baut eben ohnehin immer nur Modelle, je nachdem, ob man über Zahlen, geometrische Körper, Hunde oder Atomkraftwerke reden will. Ich sehe nicht recht dein Problem, vllt. kannst du ein konkretes Bsp. geben, wo mein Ansatz augenscheinlich fehlgeht. |
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| 08.09.2024, 21:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Daraus ergeben sich ganz neue Einsichten in die Welt der natürlichen Zahlen. 
Merkst du wirklich nicht, wie unsinnig das ist? |
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| 08.09.2024, 21:58 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir definieren natürlich nicht 2 und Hund auf dieselbe Menge. |
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| 08.09.2024, 22:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir machen das selbstverständlich nicht. Du hast das gemacht. Einen Hund kann man nicht so definieren, wie du es gemacht hast. 2 hat man in geeignetem Kontext so definiert, aber das muss man auch erstmal verstanden haben. |
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