Schreibweise bei uneigentlichem Integral

11.07.2024, 08:15

paperboy

Schreibweise bei uneigentlichem Integral

Hallo

Ich habe ein paar Fragen zu folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \frac{1-ln(x)}{x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

1.) Ist die Schreibweise mit den Integralgrenzen eigentlich so in Ordnung ? Immerhin ist obere Grenze mit "unendlich" kein fester Wert und die untere Grenze 0 liegt nicht mal im Definitionsbereich der Funktion. Oder kann man zunächst quasi alles oben und unten an ein Integral schreiben und dann erst später mit entsprechenden Variablen und Grenzwerten arbeiten ?

2.) Reicht es hier schon aus nur die untere Grenze durch a zu ersetzen und später per Grenzwert a gegen Null streben zu lassen oder sollte man ebenso gleichzeitig die obere Grenze b nennen und später gegen unendlich streben lassen ?

3.) Eine durch genaues Hinschauen (Quotientenregel) direkt ersichtliche Stammfunktion wäre ja $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .
Wäre nach dem Hauptsatz der Integralrechnung dann eine Schreibweise wie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \frac{1-ln(x)}{x^2} \, dx =F(\infty)-F(0) \end{eqnarray*}$ überhaupt zulässig oder sollte man schon zwingend mit $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \frac{1-ln(x)}{x^2} \, dx =\lim_{b \to \infty} F(b)-\lim_{a \to 0} F(a) \end{eqnarray*}$ arbeiten ?

4.) Muss man hier überhaupt mit einer Stammfunktion arbeiten oder kann man irgendwie auch direkt aus passenden Eigenschaften der Funktion darauf schließen, dass der Integralwert nicht endlich sein kann ?

11.07.2024, 09:48

Equester

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1.) Ja, das sollte kein Problem sein. Schon allein, dass du dir diese Frage stellst, zeigt, dass du weißt, was hier Sache ist. Wenn das für das Umfeld ebenfalls gilt, passt das. Im Schulbereich ohnehin.

2.) Hier kann ich dir nicht ganz folgen. Ich würde aber wie bei 1 vorgehen. Letztlich erleichtert das die Lesbarkeit!

3.) Das würde ich nun so nicht schreiben wollen. Ich bin der Ansicht man sollte zwingend wie bei dir rechts stehend arbeiten. Wenn man noch einen Schritt formaler sein möchte, wiederholt man das Integral mit den entsprechenden Parameter a und b, bevor man es ausschreibt. Persönlich würde ich das aber nur in einer Prüfungssituation machen und ansonsten der Lesbarkeit den Vorzug geben und agieren wie du es vormachst.

4.) Ja klar. Wenn du passende Eigenschaften hast, die du darlegen kannst (bspw Abschätzungen), dann darfst du diese verwenden. Sind dir keine bekannt, oder du kannst sie nicht darlegen, dann bleibt dir die Rechnung.

11.07.2024, 11:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von paperboy
4.) Muss man hier überhaupt mit einer Stammfunktion arbeiten oder kann man irgendwie auch direkt aus passenden Eigenschaften der Funktion darauf schließen, dass der Integralwert nicht endlich sein kann ?

Geht hier sogar relativ einfach: Für $\begin{eqnarray*} 0 < x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \ln(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{1-\ln(x)}{x^2} \geq \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ .

Folglich gilt $\begin{eqnarray*} \int\limits_h^1 \frac{1-\ln(x)}{x^2} ~ \dd x \geq \int\limits_h^1 \frac{1}{x^2} ~ \dd x = \frac{1}{h}-1\to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h\to +0 \end{eqnarray*}$ .

Findet man keine Stammfunktion, wäre das durchaus eine gängige Methode,

12.07.2024, 08:41

paperboy

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Vielen Dank für eure erhellenden Antworten smile

Und ebenso ein Danke für das Löschen der vermutlich von einem Bot oder Troll verfassten, mich nicht ernst nehmenden Spamantwort kurz nach meinem Beitrag gestern. Freude

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