Definition eines Quotientenmoduls

12.07.2024, 09:43	Posaune	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition eines Quotientenmoduls Meine Frage: Hallo, Ich habe eine Frage zur Definition des Quotientenmoduls, ich lese überall für ein Untermodul N von M ist folgendes eine Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} a \equiv b mod N <=> a-b \in N<br /> <br /> a \equiv b mod N \Rightarrow a+c \equiv b+c mod N und ra \equiv rb mod N \end{eqnarray}$ Wäre es dann aber nicht so, dass zum Beispiel 9 = 7 mod Z4, da 9-7 aus Z4 ist. Das stimmt aber doch so irgendwie nicht, schließlich ist 7 doch 3 mod 4 und 9 ist 1 mod 4 und auch die zweite Folgerung der Aussage stimmt doch nicht. Zum Beispiel 39 - 37 = 27-21 = 6 ist nicht aus Z4 Ich glaub ich steh hier irgendwie total auf dem Schlauch und ich finde online keine genauere Erklärung der Definition, vielleicht kann mir hier ja jemand behilflich sein. Liebe Grüße und vielen Dank Meine Ideen: Wäre es dann aber nicht so, dass zum Beispiel 9 = 7 mod Z4, da 9-7 aus Z4 ist. Das stimmt aber doch so irgendwie nicht, schließlich ist 7 doch 3 mod 4 und 9 ist 1 mod 4 und auch die zweite Folgerung der Aussage stimmt doch nicht. Zum Beispiel 39 - 37 = 27-21 = 6 ist nicht aus Z4
12.07.2024, 09:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne es eher als $\begin{eqnarray} a\equiv b\bmod n ~\Leftrightarrow~ a-b\in n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ , was etwas völlig anderes ist. EDIT: Crosspost https://www.onlinemathe.de/forum/Frage-z...uotientenmoduls
12.07.2024, 14:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls die Frage noch nicht hinreichend beantwortet ist, hier eine Antwort. $\begin{eqnarray} M=\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist der Modul, $\begin{eqnarray} N=4\mathbb Z \end{eqnarray}$ der Teilmodul, $\begin{eqnarray} M/N=\mathbb Z/4\mathbb Z=\mathbb Z_4=\{\overline 0,\overline 1,\overline 2, \overline 3\}=\{N,N+1,N+2,N+3\} \end{eqnarray}$ der Quotientenmodul. Für $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a\equiv b\Leftrightarrow a-b\in 4\mathbb Z=\overline 0\Leftrightarrow 4\|(a-b)\Leftrightarrow a=4h+r,b=4k+r,h\in\mathbb Z,k\in\mathbb Z,r\in\{0,1,2,3\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9=2\cdot 4+1\equiv 1 \mod 4, 7=1\cdot 4+3\equiv 3 \mod 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9-7=2\equiv 2\mod 4\Rightarrow \lnot(9\equiv 7\mod 4) \end{eqnarray}$ Anmerkung: Die Kongruenzrelation zunächst einmal eine Äquivalenzrelation auf der Menge der ganzen Zahlen, und der Quotientenmodul ist die Menge der Äquivalenzklassen dieser Relation. Dass man diese Klassen vertreterunabhängig addieren kann, macht den Quotientenmodul zu einer Gruppe. Dass man die Klassen vertreterunabhängig multiplizieren kann, macht den Quotientenmodul sogar zu einem Ring, für m=p eine Primzahl sogar zu einem endlichen Körper.
13.07.2024, 09:46	Posaune	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Vielen Dank für die ausführliche Antwort, das hat es für mich wirklich klarer gemacht.
13.07.2024, 16:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut so. Das Beispiel ist lebenswichtig, weil ohne dieses keine moderne Algebra möglich ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »