Divergenz einer Reihe

12.07.2024, 15:03	simulator	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz einer Reihe Hallo Ich würde gerne zeigen, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{3}{100k+3} \end{eqnarray}$ divergent ist. Dazu nutze ich die Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{3}{100k+3}=3 \cdot \frac{1}{100k+3} \geq 3 \cdot \frac{1}{100k+3k}=3 \cdot \frac{1}{103k}=\frac{3}{103} \cdot \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ , um als Minorante die harmonische Reihe ins Spiel zu bringen. Somit würde dann ja $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{3}{100k+3} \geq \frac{1}{103} \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ gelten, was für k=0 dann aber nicht definiert wäre. Eine Idee wäre die Reihe zunächst zu $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{3}{100k+3}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{3}{100k+3} \end{eqnarray}$ umzuschreiben und am Ende damit zu argumentieren, dass der konstante Summand 1 keine Auswirkungen auf die Divergenz hat. Wie würdet ihr meine Gedanken zu der Aufgabe bewerten ? Habt ihr alternative Vorschläge ?
12.07.2024, 17:20	nichteuerernst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz einer Reihe Nimm statt der Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{1}{100k+3}>\frac{1}{100k+3k} \end{eqnarray}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{1}{100k+3}>\frac{1}{100k+100}=\frac{1}{100(k+1)} \end{eqnarray}$ . Damit darf auch k=0 unbesorgt verwendet werden.
12.07.2024, 19:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ simulator Die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe wird nicht durch ein Anfangsstück bestimmt. So ist eine Reihe $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \end{align}$ divergent, wenn eine natürliche Zahl $\begin{align} N \end{align}$ existiert mit $\begin{align} a_n \geq b_n > 0 \end{align}$ für $\begin{align} n \geq N \end{align}$ und die Reihe $\begin{align} \sum_{n=N}^{\infty} b_n \end{align}$ divergiert. In deiner Lösung genügt es, wenn du die Reihen mit $\begin{align} k=1 \end{align}$ startest.
13.07.2024, 19:20	simulator	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten. Danke für das Eingehen auf meinen Lösungsweg, Leopold.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »