Taylorreihe und Konvergenzradius

12.07.2024, 16:11

Logger

Taylorreihe und Konvergenzradius

Hallo

Es geht für f(x)=ln(x) mit Entwicklung in x0=3 zum einen um a) das Taylorpolynom 3. Grades und b) um die Taylorreihe in x0=3.

Für a) erhalte ich mit den Ableitungen f '(x)=1/x und f ''(x) = -1/x² und f '''(x) = -2/x³ dieses Polynom :

$\begin{eqnarray*} T_3(f,3)=ln(3)+\frac{1}{3}(x-3)-\frac{1}{18}(x-3)^2+\frac{1}{81}(x-3)^3 \end{eqnarray*}$

Für b) vermute ich, dass man dafür die k-te Ableitung in x0 einen allgemeinen Term in Abhängigkeit von k finden soll.

Da die Regelmäßigkeit der k-ten Ableitung erst in k=1 beginnt, würde ich den Summanden für k=0 von der eigentlichen Summe abspalten.

Ich erhalte damit $\begin{eqnarray*} f^k(3)=(-1)^{k+1} \cdot (k-1)! \cdot \frac{1}{3^k}=-(-\frac{1}{3})^k \cdot (k-1)! \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Taylorformel komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} T(f,3)=ln(3)-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \cdot (-\frac{1}{3})^k \cdot (x-3)^k \end{eqnarray*}$

Falls das bis dahin stimmt, kann man dann den Konvergenzradius R über $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot(x-3) | = \lim_{n \to \infty} | -\frac{1}{3} \cdot \frac{n}{n+1} \cdot(x-3) | =\frac{1}{3} \cdot |x-3|<1 \end{eqnarray*}$
ermitteln, indem man auf |x-3| < 3 <=> R=3 und damit auf Konvergenz in (0,6) schließt ?

Ich würde mich freuen, wenn jemand meine Ansätze bewerten und ggf. korrigieren/ergänzen könnte. Wink

12.07.2024, 16:54

nichteuerernst

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RE: Taylorreihe und Konvergenzradius
Der Konvergenzradius ist in Ordnung. Beachte aber die Intervallränder separat.
ln(3-3) lässt sich damit nicht berechnen, ln(3+3) schon.

12.07.2024, 21:39

Logger

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Ich hatte mit (0,6) bewusst zunächst ein offenes Intervall gewählt.
Den Rändern wollte ich mich widmen, sobald ich sicher sein kann, dass meine vorigen Ausführungen in Gänze korrekt sind.
Mag dazu vielleicht noch jemand etwas schreiben, insbesondere gerne auch hierzu :

Zitat:

Für b) vermute ich, dass man dafür die k-te Ableitung in x0 einen allgemeinen Term in Abhängigkeit von k finden soll.

Da die Regelmäßigkeit der k-ten Ableitung erst in k=1 beginnt, würde ich den Summanden für k=0 von der eigentlichen Summe abspalten.

Kann ich also stets endlich viele Summenglieder aus der Taylorreihe ziehen, wenn sie das Finden einer allgemein gültigen Ableitungsformel stören ?

Wenn ich mal kurz auf die Taylorreihe schiele, dann wird es für x=0 mit 1/k harmonisch und damit divergent und für x=6 sieht es mir nach Leibniz aus, was Konvergenz zur Folge hat und zum halboffenen Intervall (0,6] führt.

12.07.2024, 23:23

Leopold

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Zitat:

Original von Logger
Kann ich also stets endlich viele Summenglieder aus der Taylorreihe ziehen, wenn sie das Finden einer allgemein gültigen Ableitungsformel stören ?

Das kannst du. Man macht es so, wie es für den verfolgten Zweck nützlich ist.

Du kannst auch über die bekannte Reihe

$\begin{align*} \ln(1+t) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{t^k}{k} \, , \ -1 < t \leq 1 \end{align*}$

zur Lösung kommen:

$\begin{align*} \ln(x) = \ln \left( 3 + (x-3) \right) = \ln \left( 3 \left( 1 + \frac{x-3}{3} \right) \right) = \ln(3) + \ln \left( 1 + \frac{x-3}{3} \right) \end{align*}$

Jetzt mußt du oben nur $\begin{align*} t = \frac{x-3}{3} \end{align*}$ substituieren, sowohl in der Formel als auch in der Gültigkeitsbedingung für $\begin{align*} t \end{align*}$ .

13.07.2024, 19:23

Logger

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Ich danke dir Leopold. Wink

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