Begleitendes Dreibein

14.07.2024, 17:13

Knifte

Begleitendes Dreibein

Hallo

Es geht um die Raumkurve zu $\begin{eqnarray*} \vec{x}(t)=e^t \cdot \begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in (-\pi;\pi) \end{eqnarray*}$

Dazu soll a) das die Kurve begleitende Dreibein $\begin{eqnarray*} (\vec{T},\vec{N},\vec{B}) \end{eqnarray*}$ , b) die Krümmung und c) die Torsion in Abhängigkeit von t bestimmt werden.

Man findet dazu die unterschiedlichsten zueinander äquivalenten Formeln.
Ich hoffe ich habe mit $\begin{eqnarray*} \vec{T}=\frac{\vec{x'(t)}}{|\vec{x'(t}|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{N}=\frac{\vec{x''(t)}}{|\vec{x''(t}|} \end{eqnarray*}$ so wie $\begin{eqnarray*} \vec{B}=\vec{T} \times \vec{N} \end{eqnarray*}$ die richtigen und einfachsten Varianten gewählt.

Für die beiden Ableitungen erhalte ich $\begin{eqnarray*} \vec{x'(t)}=e^t \cdot \begin{pmatrix} cos(t)-sin(t) \\ cos(t)+sin(t) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x''(t)}=e^t \cdot \begin{pmatrix} -2sin(t) \\ 2cos(t) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die zur Normierung benötigten Längen komme ich auf $\begin{eqnarray*} |\vec{x'(t}|=\sqrt{3} \cdot e^t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\vec{x''(t}|=\sqrt{5} \cdot e^t \end{eqnarray*}$

Was mich an dieser Stelle schon skeptisch macht, ist, dass $\begin{eqnarray*} \vec{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{N} \end{eqnarray*}$ gar nicht orthogonal sind (das Skalarprodukt wird offensichtlich nicht Null).
Das würde ja schon jetzt der Eigenschaft einer Orthonormalbasis für das Dreibein wiedersprechen oder habe ich das etwas falsch verstanden ?

Kann mir jemand sagen was ich falsch mache ?

14.07.2024, 19:09

IfindU

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RE: Begleitendes Dreibein

Zitat:

Original von Knifte

Man findet dazu die unterschiedlichsten zueinander äquivalenten Formeln.
Ich hoffe ich habe mit $\begin{eqnarray*} \vec{T}=\frac{\vec{x'(t)}}{|\vec{x'(t}|} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{N}=\frac{\vec{x''(t)}}{|\vec{x''(t}|} \end{eqnarray*}$ so wie $\begin{eqnarray*} \vec{B}=\vec{T} \times \vec{N} \end{eqnarray*}$ die richtigen und einfachsten Varianten gewählt.

Das hier ist falsch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{N}=\frac{\vec{x''(t)}}{|\vec{x''(t)}|} \end{eqnarray*}$

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \vec{N}=\frac{\vec{T'(t)}}{|\vec{T'(t)}|} \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} |x'| \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist, sind die beiden Formeln anders.

14.07.2024, 21:08

Knifte

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Danke für die Korrektur.

Damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \vec{T(t)}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} cos(t)-sin(t) \\ cos(t)+sin(t) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \vec{T'(t)}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} -sin(t)-cos(t) \\ -sin(t)+cos(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so wie $\begin{eqnarray*} |\vec{T'(t)}|=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}$

Also wäre dann $\begin{eqnarray*} \vec{N(t)}=\frac{\vec{T'(t)}}{|\vec{T'(t)}|}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} -sin(t)-cos(t) \\ -sin(t)+cos(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{B}=\vec{T} \times \vec{N}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} cos(t)-sin(t) \\ cos(t)+sin(t) \\ 1 \end{pmatrix} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} -sin(t)-cos(t) \\ -sin(t)+cos(t) \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} sin(t)-cos(t) \\ -sin(t)-cos(t) \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{B'(t)}=\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \begin{pmatrix} cos(t)+sin(t) \\ -cos(t)+sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und als Länge $\begin{eqnarray*} |\vec{B'(t)}|=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

Für die Krümmung k würde ich $\begin{eqnarray*} k(t)=\frac{|\vec{T'(t)}|}{|\vec{x'(t)}|}=\frac{\sqrt{6}}{3 \cdot \sqrt{3} \cdot e^t}=\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot e^{-t} \end{eqnarray*}$ erhalten.

Als Torsion $\begin{eqnarray*} \tau (t) \end{eqnarray*}$ wäre es dann $\begin{eqnarray*} \tau (t)=\frac{|\vec{B'(t)}|}{|\vec{x'(t)}|}=\frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot e^t}=\frac{1}{3} \cdot e^{-t} \end{eqnarray*}$

Kann da vielleicht jemand drüberschauen ?

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