Divergente Reihe

15.07.2024, 09:30

angerfoot

Divergente Reihe

Hallo

Kurz und knapp gefragt:

Stimmt es, dass die Reihe s wegen der Zerlegung $\begin{eqnarray*} s=\sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2}{3+(-1)^k})^k=\sum\limits_{k=2n+1}^{\infty} 1 +\sum\limits_{k=2n}^{\infty} (\frac{1}{2})^k \end{eqnarray*}$ divergent ist, da für ungerade k eine divergente Teilsumme entsteht oder wie würdet ihr die Divergenz von s zeigen ?

15.07.2024, 09:43

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RE: Divergente Reihe
Dahinter scheint die richtige Idee zu stecken, nämlich dass die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.

Deine Formulierung verstehe ich nicht wirklich. Willst du auf eine Umordnung der Reihe hinaus? Ist jedenfalls zu kompliziert.

15.07.2024, 09:52

angerfoot

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Ich wollte darauf hinaus, dass wenn man die Zerlegung s=s1+s2 vornimmt, daraus dann wegen der hier stets positiven Summanden folgt:

Wenn s1 divergiert, dann divergiert auch s.

Ist dieser Gedankengang falsch ?

15.07.2024, 10:27

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Ja, das ist falsch. Mach deine Zerlegung für die alternierende harmonische Reihe

15.07.2024, 11:22

angerfoot

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Bei dem Beispiel ist es aber nur wegen den negativen Summanden in der Teilsumme für ungerade n so oder irre ich ?

Meine Behauptung bezog sich auf stets positive Summanden, so wie es in der obigen Reihe s der Fall ist.

Meine Denkweise ist salopp gesagt: "Wenn etwas (positiv) unendlich groß wird, dann bleibt diese Divergenz erst recht erhalten, wenn man noch weitere positive Summanden hinzufügt".
Also quasi der Grundgedanke beim Minorantenkriterium.

Ist es damit trotzdem noch falsch und ich verwechsle da etwas ? verwirrt

15.07.2024, 12:01

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Die Idee ist richtig, aber gerade als Anfänger sollte man sowas sauber aufschreiben.
$\begin{eqnarray*} k=2n+1 \end{eqnarray*}$ als untere Summationsgrenze bedeutet nicht, dass man über ungerade k summiert.

15.07.2024, 14:52

angerfoot

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Was mich da wohl geritten hat die Summe so zu schreiben... geschockt

Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} s=\sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2}{3+(-1)^k})^k=\sum\limits_{k=1}^{\infty} 1^{2k-1} +\sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{2k} =\sum\limits_{k=1}^{\infty} 1^{2k-1} + \frac{1}{1-\frac{1}{4}} -1=\sum\limits_{k=1}^{\infty} 1^{2k-1} + \frac{1}{3} \geq \sum\limits_{k=1}^{\infty} 1^{2k-1}=\lim_{n \to \infty}n \cdot 1=\infty \end{eqnarray*}$

Das konkrete Ausrechnen des Grenzwertes für die geometrische Reihe war sicher nicht nötig, ich wollte es nur mal zur Übung einstreuen. Big Laugh

Ist das so nun besser aufgeschrieben ?

15.07.2024, 15:56

HAL 9000

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Ok, deine Rechnungen basieren auf der Aussage, dass man Reihen mit nichtnegativen Gliedern beliebig umordnen darf, ohne dass sich deren Konvergenzverhalten ändert - muss aber auch erstmal nachgewiesen werden (was nicht schwer ist). Wenn ihr das voraussetzen könnt, gut - falls nicht, kann dir daraus ein Strick gedreht werden. Generell würde ich solche Gleichungsketten vermeiden, wo einzelne Terme divergente Reihen sind.

Leichter und ohne solche Fallen ist das hier

Zitat:

Original von URL
Dahinter scheint die richtige Idee zu stecken, nämlich dass die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.

und es ist doch auch sofort zu sehen: Jedes zweite Reihenglied ist 1, damit haben wir keine Nullfolge der Reihenglieder - Verstoß gegen die entsprechende notwendige Bedingung für Reihenkonvergenz. Damit ist die Reihe divergent - weitere Betrachtungen oder gar Rechnungen erübrigen sich.

"Oberstes Prinzip: Simplifikation" (H.Lecter) smile

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