Potenzreihe

15.07.2024, 09:45	angerfoot	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe Hallo Ist mein folgender Lösungsansatz zur Bestimmung des Konvergenzintervalls für die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \cdot x^k \end{eqnarray}$ korrekt ? $\begin{eqnarray} R=\lim_{n \to \infty} \|\frac{a_n}{a_{n+1}}\|= \lim_{n \to \infty} \|\frac{1}{2} \cdot (1+\frac{1}{n})^2\|=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Das zunächst offene Konvergenzintervall für x lautet demnach (-0,5 ; 0,5) Für x=0,5 ensteht mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ eine bekannte, konvergente Reihe. Für x= -0,5 ensteht mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray}$ eine aufgrund des Leibnizkriteriums konvergente Reihe (alternierende Nullfolge). Insgesamt lautet das nun geschlossene Konvergenzintervall also [-0,5 ; 0,5]
15.07.2024, 10:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe

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