Doppelintegral

16.07.2024, 12:21

dailydose

Doppelintegral

Hallo

Ich habe 3 Fragen zu der im Anhang stehenden Aufgabe:

1.) Warum genau ist es offenbar problematisch das Doppelintegral auf der linken Seite zu bestimmen, welches im ersten Moment ja eigentlich ganz umgänglich aussieht ?
Hat das damit zu tun, weil man sonst die Beschränkung auf die Einheitskreis-Fläche nicht mit einbeziehen würde ?

2.) Könnte man das Doppelintegral auf der rechten Seite wie folgt begründen ?
Ich vermute, dass der Faktor 4 andeutet, dass man hier die Symmetrie zur z-Achse ausnutzt und sich dadurch nur auf einen Quadranten (wenn ich nicht irre den 1. Quadranten) beschränkt.
Die 0 und 1 als Grenzen im äußeren Integral deute ich als den Bereich zwischen 0 und 1 auf der y-Achse (siehe Skizze).
Die obere Grenze im inneren Integral kommt für mich vom rot markierten Kreisbogen im 1. Quadranten, wobei die Kreisgleichung x²+y²=1 entsprechend nach x umgestellt wurde.

3.) Wäre das Doppelintegral auf der rechten Seite eigentlich äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 4 \cdot \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \! f(x) \, dydx \end{eqnarray*}$ ?

16.07.2024, 12:58

HAL 9000

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RE: Doppelintegral

Zitat:

Original von dailydose
1.) Warum genau ist es offenbar problematisch das Doppelintegral auf der linken Seite zu bestimmen, welches im ersten Moment ja eigentlich ganz umgänglich aussieht ?

Warum sollte das problematisch sein? Es ist allenfalls problematisch, wenn du leichtfertig annimmst, dass im gesamten quadratischen Integrationsgebiet $\begin{eqnarray*} f(x,y)=1-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ gilt, d.h. wenn du

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \stackrel{?}{=} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 \left(1-x^2-y^2\right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

schreiben würdest, denn das wäre in den Außenbereichen zwischen Kreis und Quadrat der falsche Integrand.

Bei 2) wird nicht die Symmetrie zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse genutzt - eine solche gibt es hier gar nicht - sondern die Symmetrien der Integrandenfunktion sowohl zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - als auch der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse. Der Rest der Begründung stimmt.

Zu 3) Stimmt.

16.07.2024, 14:37

dailydose

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Zitat:

...wenn du $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \stackrel{?}{=} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 \left(1-x^2-y^2\right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ schreiben würdest, denn das wäre in den Außenbereichen zwischen Kreis und Quadrat der falsche Integrand.

Du hast mich erwischt, und zwar Gott sei Dank. Big Laugh

D.h. wenn, dann wäre es $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y=\int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 \left(1-x^2-y^2\right) ~ \dd x ~ \dd y -4 \cdot \int\limits_{0}^1 \int\limits_{\sqrt{1-x^2}}^1 \left(1-x^2-y^2\right) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , oder ?

Dagegen ist der direkte Weg über $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = 4 \cdot \int\limits_{0}^1 \int\limits_{0}^{\sqrt{1-y^2}} \left(1-x^2-y^2\right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ natürlich angenehmer.

18.07.2024, 10:03

dailydose

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Ich habe noch eine kurze Nachfrage :

Kann es sein, dass bei dieser Aufgabe verdeutlicht werden soll, dass es hier sehr aufwändig ist das Volumen mit kartesischen Koordinaten zu bestimmen und es dafür via Polarkoordinaten extrem schnell geht ?
Mein Ansatz wäre :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{-1}^1 f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^1 \left(1-r^2\right) \cdot r~ \dd r ~ \dd \varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}(\frac{1}{2} \cdot 1^2-\frac{1}{4} \cdot 1^4) ~ d\varphi=\frac{1}{4} \cdot (2\pi-0)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Falls ich korrekt substituiert habe, dann war es das doch schon oder irre ich mich ? verwirrt

18.07.2024, 15:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von dailydose
Kann es sein, dass bei dieser Aufgabe verdeutlicht werden soll, dass es hier sehr aufwändig ist das Volumen mit kartesischen Koordinaten zu bestimmen und es dafür via Polarkoordinaten extrem schnell geht ?

Nun zumindest geht die Rechnung mit Polarkoordinaten deutlich einfacher, auch wenn von diesem Weg in deinem Scan oben noch keine Rede war (gehört dann vielleicht zu Teilaufgabe (b) Augenzwinkern

18.07.2024, 17:06

dailydose

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Bei deser Aufgabe wurde man mit noch weiteren Teilaufgaben schönerweise etwas an die Hand genommen beim Lösen des Integrals mit kartesischen Koordinaten.
Es führte dann dazu, dass man auf $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^4(t) ~ dt \end{eqnarray*}$ kam und danach noch Additionstheoreme nutzen musste.
Auf dem nächsten Übungsblatt ging es dann um Koordinatentransformationen (Polar, Zylinder, Kugel), wodurch die dort geforderten Integrationen recht einfach wurden.
Daher kam ich rückblickend darauf, dass wenn man in einer Klausur dann die Wahl haben sollte, ein Integral wie dieses wohl tunlichst über Polarkoordinaten lösen sollte.

Vielen Dank für die Bestätigung, ich bin bei dem Thema noch etwas unsicher. Wink

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